$\textbf{Bài toán 1 (Nguyễn Tài Chung).}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=4xy, \forall x,y \in \mathbb{R}$$
$\textbf{Lời giải.}$
Giả sử tồn tại hàm $f$ thoả mãn $$f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=4xy, \forall x,y \in \mathbb{R} (1)$$
Trước tiên, ta sẽ chứng minh $f$ đơn ánh.
Thật vậy, thay $x=y=c$ vào $(1)$, ta được: $$f\left ( \frac{cf(c)}{2} \right )=2c^2,\forall c \in \mathbb{R}(2)$$
Giả sử tồn tại $x,y \in \mathbb{R}$ để $f(x)=f(y)$ thì ta có: $\left\{\begin{matrix}\frac{xf(x)}{2}=\frac{xf(y)}{2} & \\ \frac{yf(y)}{2}=\frac{yf(x)}{2} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 4xy=f\left ( \frac{xf(y)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(x)}{2} \right )=f\left ( \frac{xf(x)}{2} \right )+f\left ( \frac{yf(y)}{2} \right )=2x^2+2y^2\Rightarrow x=y$
Vậy $f$ đơn ánh trên $\mathbb{R}$
Từ $(2)$ và $f$ đơn ánh suy ra $f$ là hàm lẻ
Thay $c=1$ vào $(2)$, ta được: $\frac{1}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )=1\Rightarrow \frac{1}{2}\frac{f(1)}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )=\frac{f(1)}{2}\Rightarrow f\left ( \frac{1}{2}\frac{f(1)}{2}f\left ( \frac{f(1)}{2} \right ) \right )=f\left ( \frac{f(1)}{2} \right )\Rightarrow 2.\frac{f(1)^2}{4}=2\Rightarrow f(1)^2=4$
$\textbf{Trường hợp 1:}$ $f(1)=2$ thì ta thay $y=1$ vào $(1)$, ta được: $$f(x)+f(\frac{f(x)}{2})=4x$$
Đặt $z=2x-f(x)$ thì $f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+z$
Ta có: $z=2x-f(x)\Rightarrow f(x-\frac{z}{2})=f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+z$
$\Rightarrow f\left ( x+\frac{z}{2} \right )=f\left ( \frac{f\left ( x-\frac{z}{2} \right )}{2} \right )=2(x-\frac{z}{2})+z=2x$
$\Rightarrow f(x)=f\left ( \frac{f\left ( x+\frac{z}{2} \right )}{2} \right )=2(x+\frac{z}{2})+z=2(x+z)$
Như vậy ta sẽ được $f(x)=2x,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.
$\textbf{Trường hợp 2:}$ $f(-1)=2$ thì thay $y=-1$ vào $(1)$, ta được: $$f(-x)+f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=4x$$
$\Rightarrow f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=4x+f(x)$
Đặt $2x+f(x)=t$ thì $f(\frac{t}{2}-x)=f\left ( \frac{f(x)}{2} \right )=2x+t\Rightarrow f(x-\frac{t}{2})=-2x-t$
$\Rightarrow f(-x-\frac{t}{2})=f\left ( \frac{f(x-\frac{t}{2})}{2} \right )=2(x-\frac{t}{2})+t=2x$
$\Rightarrow f(x)=f\left ( \frac{f(-x-\frac{t}{2})}{2} \right )=2(-x-\frac{t}{2})+t=-2x$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy có hai hàm thỏa mãn bài toán là $\boxed{f(x)=2x,f(x)=-2x,\forall x \in \mathbb{R}}$