Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Mệnh đề về liên hệ giữa $\dim R_{\lambda}$ và giá trị riêng $\lambda$

đại số tuyến tính

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 manh huy

manh huy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 04-08-2022 - 20:57

Mệnh đề. Nếu $\lambda$ là một giá trị riêng của tự đồng cấu $ f: V \to V$ thì $\dim R_{\lambda}$ bằng bội của $\lambda$ xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của $f$.
 

Mệnh đề nói trên e trích từ sách ĐSTT của Nguyễn Hữu Việt Hưng. Chứng minh của mệnh đề có nhiều đoạn làm em khó hiểu.

Chứng minh. Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng, đồng cấu $(f-\lambda \text{id}_V)\mid_{R_\lambda}$ là lũy linh. Do đó, ta có thể chọn một cơ sở của $R_{\lambda}$ sao cho đối với cơ sở đó ma trận của $f \mid_{R_\lambda}$ có dạng chéo khối, với các đường chéo có dạng
$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0& \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 0& \lambda \end{pmatrix}$$
Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $f \mid_{R_\lambda}$ là 
$$ P_{f\mid_{R_\lambda}} (X) = (\lambda-X)^{\dim R_\lambda}$$
Ta có
$$ \begin{aligned} P_f (X) &= P_{f\mid_{R_\lambda}}(X) P_{\bar{f}}(X) \\ &= (\lambda - X)^{\dim R_\lambda}P_{\bar{f}}(X) \end{aligned}$$

trong đó $\bar{f}$ là đồng cấu cảm sinh bởi $f$ trên không gian thương $V/R_\lambda)$. Vì thế, nếu gọi $s$ là bội của $\lambda$ xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của f, thì $\dim R_\lambda \leq s$...

Cho e hỏi là sao ta lại có ma trận chéo khối của $f\mid_{R_\lambda}$ với cơ sở đã chọn dạng như vậy (hay tại sao từ f-lamda*id_V lại qua hạn chế của f trên R_lam)
Hơn nữa, tại sao lại có đẳng thức thứ nhất, sao lại là trừ X ạ, $\det(f-\lambda \text{id}_V)$ sao lại ra 1 cái hằng số trừ 1 ma trận, và nó có liên quan gì đến ma trận khối kể trên (cái tích det R_lam lần rõ là có lquan r)...

Em cảm ơn nhiều :)



#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1601 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:l'Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic integration, motivic stable homotopy theory, the theory of motives

Đã gửi 05-08-2022 - 01:11


Chứng minh. Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng, đồng cấu $(f-\lambda \text{id}_V)\mid_{R_\lambda}$ là lũy linh. Do đó, ta có thể chọn một cơ sở của $R_{\lambda}$ sao cho đối với cơ sở đó ma trận của $f \mid_{R_\lambda}$ có dạng chéo khối, với các đường chéo có dạng
$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0& \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 0& \lambda \end{pmatrix}$$

Bạn gõ sai rồi, ma trận này phải là

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Đó là do định lý 4.2 trong cùng sách, vì $(f-\lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}}$ là lũy linh nên nó có một cơ sở cyclic nên ma trận nó có dạng (ma trận ngay trên định lý 4.2)

$$(f- \lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & 0 & ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...&0& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & 0\end{pmatrix}$$

Khi này bạn chuyển vế $\lambda \mathrm{id}$ sang vế phải sẽ suy ra dạng của $f$ là

$$ f_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Do đó đa thức đặc trưng của $f_{\mid R_{\lambda}}$ sẽ là

$$P_{f_{\mid R_{\lambda}}}(X) = \mathrm{det}\begin{pmatrix} \lambda - X & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda - X& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda - X& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda - X& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda - X \end{pmatrix} = (\lambda - X)^{\mathrm{dim}(R_{\lambda})}.$$

Lý do là vì đây là ma trận tam giác trên nên định thức chỉ là tích các phần tử trên đường chéo.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-08-2022 - 01:16

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 manh huy

manh huy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 05-08-2022 - 09:29

Bạn gõ sai rồi, ma trận này phải là

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Đó là do định lý 4.2 trong cùng sách, vì $(f-\lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}}$ là lũy linh nên nó có một cơ sở cyclic nên ma trận nó có dạng (ma trận ngay trên định lý 4.2)

$$(f- \lambda \mathrm{id}_V)_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & 0 & ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...&0& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & 0\end{pmatrix}$$

Khi này bạn chuyển vế $\lambda \mathrm{id}$ sang vế phải sẽ suy ra dạng của $f$ là

$$ f_{\mid R_{\lambda}} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda \end{pmatrix}$$

Do đó đa thức đặc trưng của $f_{\mid R_{\lambda}}$ sẽ là

$$P_{f_{\mid R_{\lambda}}}(X) = \mathrm{det}\begin{pmatrix} \lambda - X & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 1 & \lambda - X& 0& ...& 0& 0\\ 0& 1 & \lambda - X& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda - X& 0\\ 0& 0& 0& ...& 1 & \lambda - X \end{pmatrix} = (\lambda - X)^{\mathrm{dim}(R_{\lambda})}.$$

Lý do là vì đây là ma trận tam giác trên nên định thức chỉ là tích các phần tử trên đường chéo.

Em cảm ơn bác,
Duy có phần chuyển vế $\lambda \text{id}$ em còn thắc mắc, tại sao mình được viết một cái đồng cấu = 1 cái ma trận để thao tác đại số như thế ạ.  







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số tuyến tính

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh