Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $(u_{k})$, $k=1,2,3,...$ không chứa bất kì số chính phương nào


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Math04

Math04

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 04-08-2022 - 22:18

Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $d(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$ và $u_{1}=d(n), u_{k+1}=d(u_{k})$, $k=1,2,3,...$.
a) Chứng minh $d(n) \leq 2\sqrt{n}$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $(u_{k})$, $k=1,2,3,...$ không chứa bất kì số chính phương nào.


#2 toanhoclanhungniemdau

toanhoclanhungniemdau

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 04-08-2022 - 23:02

À đây là đề duyên hải K11 năm nay đúng không ạ? KQ câu b là $$n = p^{q-1}$$ với p, q là các số nguyên tố


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoclanhungniemdau: 04-08-2022 - 23:04


#3 Math04

Math04

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 04-08-2022 - 23:20

À đây là đề duyên hải K11 năm nay đúng không ạ? KQ câu b là $$n = p^{q-1}$$ với p, q là các số nguyên tố

Bạn có thể giải chi tiết giúp mình với mình đọc lời giải trên mạng nhưng có lẻ chưa chặt chẽ lắm



#4 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 05-08-2022 - 08:59

b) Nhận thấy $n\neq 1$.

Do đó dãy trên không chứa số hạng nào là số $1$.

Ta có $d_n \leq 2\sqrt{n}$ nên $d_n\leq n,\forall n\geq 4$. 

Có $d_2 =2 ; d_3=3; d_4 = 3$ nên $d_n \leq n,\forall n\geq 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $n=2$.

Đến một lúc nào đó, dãy trên là dãy dừng. Thế thì, phải có một số hạng $u_k = 2$, $k\in\mathbb N^*$.

$\bullet$ Nếu $k=1$ thì $n = p$ với $p$ là số nguyên tố nào đó.

$\bullet$ Nếu $k>1$ thì suy ra $u_{k-1} = p$, với $p$ là một số nguyên tố.

Vì $u_{k-1}$ là lẻ nên nếu $k > 2$ thì $u_{k-2}$ là số chính phương, vô lí.

Suy ra $k = 2$.

Từ đó $ n = q^{p-1}$, với $q$ là một số nguyên tố nào đó.

Tóm lại $ n$ là các số có dạng $q^{p-1}$ với $p,q$ là hai số nguyên tố bất kì,


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-08-2022 - 09:00





4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh