Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $1<x_{n}<2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math04

Math04

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 04-08-2022 - 23:24

Cho dãy $x_{n}$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{2011}{2010} & & \\ x_{n+1}=x_{n}^2-2x_{n}+\frac{2n+4999}{n+2499} & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh $1<x_{n}<2$.



#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 05-08-2022 - 08:44

Đặt $y_n = x_n - 1$.

Khi đó $y_1 = \frac{1}{2010}$ và $y_{n+1} = y_n^2 + \frac{1}{n+2499}$.

Dễ thấy $(y_n)$ là dãy dương.

Đồng thời nhận thấy $y_2 = \frac{1}{2010^2} + \frac{1}{2500} < \frac{1}{2010} = y_1$.

Bằng quy nạp ta suy ra $(y_n)$ là dãy giảm.

Do đó $y_n < 1,\forall n \in\mathbb N^*$ hay $1 < x_n < 2,\forall n\in\mathbb N^*$.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh