Cho dãy $x_{n}$ xác định bởi: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{2011}{2010} & & \\ x_{n+1}=x_{n}^2-2x_{n}+\frac{2n+4999}{n+2499} & & \end{matrix}\right.$. Chứng minh $1<x_{n}<2$.
Chứng minh $1<x_{n}<2$
Bắt đầu bởi Math04, 04-08-2022 - 23:24
#1
Đã gửi 04-08-2022 - 23:24
#2
Đã gửi 05-08-2022 - 08:44
Đặt $y_n = x_n - 1$.
Khi đó $y_1 = \frac{1}{2010}$ và $y_{n+1} = y_n^2 + \frac{1}{n+2499}$.
Dễ thấy $(y_n)$ là dãy dương.
Đồng thời nhận thấy $y_2 = \frac{1}{2010^2} + \frac{1}{2500} < \frac{1}{2010} = y_1$.
Bằng quy nạp ta suy ra $(y_n)$ là dãy giảm.
Do đó $y_n < 1,\forall n \in\mathbb N^*$ hay $1 < x_n < 2,\forall n\in\mathbb N^*$.
- DOTOANNANG và Math04 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh