Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Xét tập hợp các đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác $0$ và thỏa: $P(x^2-1)=P(x)P(-x)$ với mọi $x$ thực. Tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất.



#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Giả sử $a$ là một nghiệm của $P(x)$ thì do $P(a^2-1)=P(a)P(-a)=0$ nên $a^2-1$ cũng là một nghiệm của $P(x)$. 

Từ đó nếu $a>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thì ta có thể biễu diễn nghiệm của $P(x)$ bởi một dãy tăng vô hạn các số. Vô lí vì $P(x)$ là một đa thức khác không. Do vậy $a\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Đa thức $P(x)=x^2-x-1$ có nghiệm $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và đa thức này thỏa mãn đề bài nên ta cần chỉ ra không tồn tại đa thức bậc nhất thỏa mãn

Thật vậy, giả sử có $P(x) =ax+b$ trong đó $a$ khác $0$ thì thay vào đề bài ta được $$ax^2+(b-a)=-a^2x^2+b^2$$

Do đó $a=-1$ và $b=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Nhưng trong trường hợp này cả hai đa thức đều có nghiệm nhỏ hơn $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh