Xét tập hợp các đa thức $P(x)$ hệ số thực, khác $0$ và thỏa: $P(x^2-1)=P(x)P(-x)$ với mọi $x$ thực. Tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất.
Tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất nhưng có nghiệm lớn nhất
#1
Đã gửi 04-08-2022 - 23:32
#2
Đã gửi 25-11-2022 - 22:15
Giả sử $a$ là một nghiệm của $P(x)$ thì do $P(a^2-1)=P(a)P(-a)=0$ nên $a^2-1$ cũng là một nghiệm của $P(x)$.
Từ đó nếu $a>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thì ta có thể biễu diễn nghiệm của $P(x)$ bởi một dãy tăng vô hạn các số. Vô lí vì $P(x)$ là một đa thức khác không. Do vậy $a\leq \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Đa thức $P(x)=x^2-x-1$ có nghiệm $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và đa thức này thỏa mãn đề bài nên ta cần chỉ ra không tồn tại đa thức bậc nhất thỏa mãn
Thật vậy, giả sử có $P(x) =ax+b$ trong đó $a$ khác $0$ thì thay vào đề bài ta được $$ax^2+(b-a)=-a^2x^2+b^2$$
Do đó $a=-1$ và $b=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Nhưng trong trường hợp này cả hai đa thức đều có nghiệm nhỏ hơn $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
- perfectstrong yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh