Đến nội dung


Hình ảnh

Max $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-08-2022 - 10:25

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$



#2 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Cờ tướng

Đã gửi 05-08-2022 - 20:48

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

Biến đổi tương tự suy ra

$P\geq \sum \sqrt{(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+(\frac{5}{\sqrt{3}}y)^{2}}$

Áp dụng BĐT Minxcopki : $\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{b^{2}+y^{2}}+\sqrt{c^{2}+z^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(x+y+z)^{2}}$

$P\geq \sqrt{[(\sqrt{6}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})(x+y+z)]^{2}+[\frac{5}{\sqrt{3}}(x+y+z)]^{2}}=15$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1


Death is like the wind, always by my side  :ph34r:


#3 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-08-2022 - 09:47

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 



#4 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 411 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 06-08-2022 - 10:25

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

Biểu thức này không có Max thì phải.

Xét $x = y = t$. Khi đó $\sqrt{x^2 - xy + y^2} = t$. Cho $t\to 0$ thì $P\to +\infty$.



#5 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Cờ tướng

Đã gửi 06-08-2022 - 17:36

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

Ý tưởng là tách ra dạng tổng 2 bình phương nên có thể tách tùy ý vì dấu bằng của minxcopki là :$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Ví dụ có thể tách thành : $6x^{2}+8xy+11y^{2}=\frac{50}{11}x^{2}+(\frac{4}{\sqrt{11}} x+\sqrt{11}y)^{2}$


Death is like the wind, always by my side  :ph34r:


#6 in4math3tics

in4math3tics

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 09-08-2022 - 12:54

B2: Tách thành $6x^2 + 8xy + 11y^2 = (ax+by)^2 + k(a-b)^2 \geq (ax+by)^2$, đồng nhất hệ số để tìm a,b,k

Cách này có lẽ sẽ dễ hiểu hơn dùng Minkowski.






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh