Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh

Max $\sum \frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-08-2022 - 10:25

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$



#2 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:lang thang mọi nẻo đường

Đã gửi 05-08-2022 - 20:48

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

Biến đổi tương tự suy ra

$P\geq \sum \sqrt{(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+(\frac{5}{\sqrt{3}}y)^{2}}$

Áp dụng BĐT Minxcopki : $\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{b^{2}+y^{2}}+\sqrt{c^{2}+z^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(x+y+z)^{2}}$

$P\geq \sqrt{[(\sqrt{6}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}})(x+y+z)]^{2}+[\frac{5}{\sqrt{3}}(x+y+z)]^{2}}=15$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1


Dư :unsure: Hấu   


#3 UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-08-2022 - 09:47

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 



#4 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 06-08-2022 - 10:25

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

Biểu thức này không có Max thì phải.

Xét $x = y = t$. Khi đó $\sqrt{x^2 - xy + y^2} = t$. Cho $t\to 0$ thì $P\to +\infty$.



#5 Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:lang thang mọi nẻo đường

Đã gửi 06-08-2022 - 17:36

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

Ý tưởng là tách ra dạng tổng 2 bình phương nên có thể tách tùy ý vì dấu bằng của minxcopki là :$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Ví dụ có thể tách thành : $6x^{2}+8xy+11y^{2}=\frac{50}{11}x^{2}+(\frac{4}{\sqrt{11}} x+\sqrt{11}y)^{2}$


Dư :unsure: Hấu   


#6 in4math3tics

in4math3tics

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 09-08-2022 - 12:54

B2: Tách thành $6x^2 + 8xy + 11y^2 = (ax+by)^2 + k(a-b)^2 \geq (ax+by)^2$, đồng nhất hệ số để tìm a,b,k

Cách này có lẽ sẽ dễ hiểu hơn dùng Minkowski.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh