Tìm các hàm số f:$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2}) \forall x,y \mathbb{R}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-08-2022 - 15:28
Tiêu đề + LaTeX
Tìm các hàm số f:$\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2}) \forall x,y \mathbb{R}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-08-2022 - 15:28
Tiêu đề + LaTeX
$\textbf{Lời giải.}$
Gọi $P(x,y)$ là phép thế trong phương trình hàm $$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$$
$P(0,-1) \rightarrow f(f(-1)) = (f(0)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})$
$P(x,-1) \rightarrow f(f(-1)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})$
Do đó ta có được: $$(f(0)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})=(f(x)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})$$
Nếu $f(-1) \neq -\frac{1}{2}$ thì $f \equiv c$ với $c$ là hằng số thực. Thử lại ta thấy không thỏa mãn
Do đó $f(-1) =-\frac{1}{2}$
Giả sử tồn tại một số thực $a \neq -1$ để $f(a) =-\frac{1}{2}$ thì $P(x,a) \rightarrow f(x+xa-\frac{1}{2}) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(a)+\frac{1}{2})=0$ nên $f(x)=0,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy không thỏa mãn nên $f(a)=-\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $a=-1$
Giả sử tồn tại một số thực $b \neq -\frac{1}{2}$ để $f(b)=0$
Ta đã có: $f(f(-1)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})=0$ suy ra $f(-1)=-\frac{1}{2}$ và $f(-\frac{1}{2})=0$
$P(x,-\frac{1}{2}) \rightarrow f(\frac{x}{2})=\frac{1}{2}(f(x)+\frac{1}{2})$
$P(x,b) \rightarrow f(x+xb)=\frac{1}{2}(f(x)+\frac{1}{2})$
Do đó $f(x+xb)=f(\frac{x}{2})(*)$
Thay $x$ bởi $\frac{-1}{b+1}$ vào $(*)$ thì ta có: $f(-1)=f(\frac{-1}{2(b+1)})=-\frac{1}{2}$ nên $\frac{-1}{2(b+1)}=-1$ nên $b=-\frac{1}{2}$. Vô lí
Do đó ta khẳng định $f(b)=0$ khi và chỉ khi $b=\frac{-1}{2}$
Tới đây thay $x=-1$ vào phương trình ban đầu ta được $f(-1-y+f(y))=0$ nên $-1-y+f(y)=\frac{-1}{2}$
Vậy $\boxed{f(y)=y+\frac{1}{2}, \forall y \in \mathbb{R}}$. Thử lại ta thấy thỏa mãn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-08-2022 - 08:20
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh