Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$.

Trong đó kí hiệu $f^2(x)=(f(x))^2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 08-08-2022 - 23:36


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm đã cho.

$P(0, 0)\Rightarrow 2f(0) = f^2(0)$

$\Rightarrow f(0) \in \{0; 2\}$.

$\bullet$ $f(0) = 0$: 

$P(x,0)\Rightarrow f(x^2) = f^2(x),\forall x\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(x) = \pm f(-x),\forall x\in\mathbb R$.

Đồng thời, ta cũng có $f(x)\geq 0,\forall x\geq 0$.

Giả sử tồn tại $a>0$ sao cho $-f(a)\neq f(-a)$.

Thế thì $f(a) = f(-a)$.

$P(-a, -a)\Rightarrow f(a^2 + 2af(-a)) + f(a^2) = 0$

$\Rightarrow f(a^2 + 2af(a)) + f(a^2) =0$.

Lại có $a\geq 0$ nên $f(a)\geq 0\Rightarrow a^2+2af(a)\geq 0$

$\Rightarrow f(a^2+2af(a)) \geq 0$

$\Rightarrow f(a^2)\leq 0\Rightarrow f(a^2)=0$

$\Rightarrow f(a) = f(-a) = 0$, mâu thuẫn vì $-f(a) \neq f(-a)$.

Do đó $-f(x) = f(-x),\forall x>0$, hay $f$ là hàm lẻ.

$P(x,-y)\Rightarrow f(x^2+2yf(x)) + f(y^2) = f^2(x+y),\forall x,y\in\mathbb R$.

Khi $x,y\geq 0$, ta có $x^2+2yf(x) \geq 0\Rightarrow f(x^2+2yf(x))\geq 0$

$\Rightarrow f(y^2)\leq f^2(x+y) \Rightarrow f(y)\leq f(x+y),\forall x,y\geq 0$.

Suy ra $f$ không giảm trên $\mathbb R^+$.

Kết hợp với $f$ là hàm lẻ và $f(x)\leq 0,\forall x\leq 0$, ta có $f$ không giảm trên $\mathbb R$.

Bây giờ, xét trường hợp tồn tại $a> 0$ sao cho $f(a) = 0$.

$P(x, 2x - 2f(x))\Rightarrow f(2x - 2f(x)) = 0,\forall x\in\mathbb R$. $(*)$

Cho $x=a$ ta có $f(2a) = 0$.

Cứ lặp lại liên tục ta có $f(2^{n}a) = 0,\forall n\in\mathbb N$.

Mà $f$ là hàm không giảm nên $f(x) = 0,\forall x\geq a$.

Cũng có $f(x)\leq f(a) = 0,\forall 0\leq x\leq a\Rightarrow f(x) = 0,\forall x\in [0,a]$.

Dẫn đến $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R^+$, hay $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Còn Nếu $f(x)\neq 0,\forall x>0$ thì $f(x)\neq 0,\forall x\neq 0$.

Từ $(*)$ ta có ngay $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

$\bullet$ $f(0) = 2$: $P(x,0)\Rightarrow f(x^2) + 2 = f^2(x),\forall x\in\mathbb R$.

$P(0, -y)\Rightarrow f(4y) + f(y^2) = f^2(y),\forall y\in\mathbb R$.

Kết hợp ta có $f(4x) = 2,\forall x\in\mathbb R$, hay $f(x) = 2,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Tóm lại có ba hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán: $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$, $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x) = 2,\forall x\in\mathbb R$.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh