Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$.
Trong đó kí hiệu $f^2(x)=(f(x))^2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 08-08-2022 - 23:36
Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm đã cho.
$P(0, 0)\Rightarrow 2f(0) = f^2(0)$
$\Rightarrow f(0) \in \{0; 2\}$.
$\bullet$ $f(0) = 0$:
$P(x,0)\Rightarrow f(x^2) = f^2(x),\forall x\in\mathbb R$
$\Rightarrow f(x) = \pm f(-x),\forall x\in\mathbb R$.
Đồng thời, ta cũng có $f(x)\geq 0,\forall x\geq 0$.
Giả sử tồn tại $a>0$ sao cho $-f(a)\neq f(-a)$.
Thế thì $f(a) = f(-a)$.
$P(-a, -a)\Rightarrow f(a^2 + 2af(-a)) + f(a^2) = 0$
$\Rightarrow f(a^2 + 2af(a)) + f(a^2) =0$.
Lại có $a\geq 0$ nên $f(a)\geq 0\Rightarrow a^2+2af(a)\geq 0$
$\Rightarrow f(a^2+2af(a)) \geq 0$
$\Rightarrow f(a^2)\leq 0\Rightarrow f(a^2)=0$
$\Rightarrow f(a) = f(-a) = 0$, mâu thuẫn vì $-f(a) \neq f(-a)$.
Do đó $-f(x) = f(-x),\forall x>0$, hay $f$ là hàm lẻ.
$P(x,-y)\Rightarrow f(x^2+2yf(x)) + f(y^2) = f^2(x+y),\forall x,y\in\mathbb R$.
Khi $x,y\geq 0$, ta có $x^2+2yf(x) \geq 0\Rightarrow f(x^2+2yf(x))\geq 0$
$\Rightarrow f(y^2)\leq f^2(x+y) \Rightarrow f(y)\leq f(x+y),\forall x,y\geq 0$.
Suy ra $f$ không giảm trên $\mathbb R^+$.
Kết hợp với $f$ là hàm lẻ và $f(x)\leq 0,\forall x\leq 0$, ta có $f$ không giảm trên $\mathbb R$.
Bây giờ, xét trường hợp tồn tại $a> 0$ sao cho $f(a) = 0$.
$P(x, 2x - 2f(x))\Rightarrow f(2x - 2f(x)) = 0,\forall x\in\mathbb R$. $(*)$
Cho $x=a$ ta có $f(2a) = 0$.
Cứ lặp lại liên tục ta có $f(2^{n}a) = 0,\forall n\in\mathbb N$.
Mà $f$ là hàm không giảm nên $f(x) = 0,\forall x\geq a$.
Cũng có $f(x)\leq f(a) = 0,\forall 0\leq x\leq a\Rightarrow f(x) = 0,\forall x\in [0,a]$.
Dẫn đến $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R^+$, hay $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.
Còn Nếu $f(x)\neq 0,\forall x>0$ thì $f(x)\neq 0,\forall x\neq 0$.
Từ $(*)$ ta có ngay $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.
$\bullet$ $f(0) = 2$: $P(x,0)\Rightarrow f(x^2) + 2 = f^2(x),\forall x\in\mathbb R$.
$P(0, -y)\Rightarrow f(4y) + f(y^2) = f^2(y),\forall y\in\mathbb R$.
Kết hợp ta có $f(4x) = 2,\forall x\in\mathbb R$, hay $f(x) = 2,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.
Tóm lại có ba hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán: $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$, $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x) = 2,\forall x\in\mathbb R$.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh