Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Ngày hội toán học: Số nguyên tố và giải thưởng Fields


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2251 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-08-2022 - 21:05

[Nhân có bạn nhắc đến giả thuyết về các số nguyên tố sinh đôi, xin chia sẻ một bài viết gần đây của GS. Vũ Hà Văn viết trên blog vào dịp James Maynard nhận được Huy chương Fields năm nay. Giọng văn của giáo sư vẫn hài hước như mọi khi, đặc biệt là phần chốt hạ bằng hai câu thơ lục bát.]

 

 

 

 

Nhà toán học thứ hai được giải Fields năm nay là anh J. Maynard, vỡi những công trình về số nguyên tố. 

 

Số nguyên tố có lẽ là một trong những chủ đề lâu đời nhất và được chú ý tới nhất trong toán học. Các nhà hiền triết Hy lập đáng kính đã nguyên cứu về nó, từ trước khi chúa Jesu ra đời. Rất có thể là trước cả khi Mỵ nương cưới Sơn tinh. 

 

Số nguyên tố là những số nguyên dương chỉ chia hết đươc cho chính nó. Ví dụ như 5; 6 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 2. Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29, 31, 37….Số 1, thấp cổ bé họng, không được vào hội. Thật ra lý do sâu xa hơn là vì một định lý, xưa như quả đất, là tất cả các số nguyên dương đều có thể viết dưới dạng tích của một số nguyên tố, ví dụ như 6=2 nhân 3. Ai cũng biết là nhân với 1 thì chả thêm vị gì, nên chàng đã bị loại. 

 

Từ thời Napoleon, người ta đã biết là có vô hạn số nguyên tố. Tức cái dãy 2,3,5…ở trên nó sẽ kéo dài vô hạn. Một trong những câu hỏi nổi tiếng và trung tâm nhất của toán học, là cái sự kéo dài đó nó diễn ra như thế nào. Chẳng hạn bạn thấy ở trên có tới 8 số nguyên tố giưã 1 và 20, nhưng giữa 21 và 40 chỉ còn 4 số. Tức tần suất xuất hiện của số nguyên tố ngày một giảm đi. Cũng như số lần hẹn hò của các cặp vợ chồng trẻ, theo thời gian. Nhưng giảm đi như thế nào ? Trong cả hai trường hợp, bài toán đều chưa có lời giải hoàn chỉnh. 

 

Nói cho chính xác hơn, chúng ta biết khá nhiều về câu hỏi thứ nhất. Định luật phân bố của số nguyên tố, một trong nhưng công trình nổi tiếng nhất của toán học, nói rằng trong N số nguyên dương đầu tiên có chừng f(N)= N/log N số nguyên tố, với N đủ lớn. “Có chừng” ở đây có nghĩa là công thức này có sai số, tạm goi là x(N), nhưng sai số x(N) này nhỏ so với f(N). Chính xác là x(N)/ f(N) tiến đến 0 khi N tiến ra vô cùng. Đinh luật này được hai nhà toán học Hadamard và de la Vallle Paussin chứng minh (độc lâp với nhau) trong cùng một năm (1896), dựa trên một số ý tưởng đột phá của Riemann, tìm ra chừng 30 năm trước đó. Sau chứng minh này, có rất nhiều chứng minh khác được tìm ra. Nổi tiếng nhất có lẽ là chứng minh của Erdos và Selberg (1949). Thật thà mà nói, đây không phải chứng minh hay nhât hay ngắn nhất, nhưng câu chuyện xảy ra giữa hai cụ này là một chương rất đặc biệt trong lịch sử toán học. Ngoài ra công trình này đóng vai trò khá quan trọng trong giải thưởng Fields của Selberg (1950). 

 

Câu hỏi tiếp theo sẽ là cái sai số x(N) là bao nhiêu, hay nói cách khác, x(N)/f(N) tiến đến 0 nhanh thế nào cùng với N. Giả thiết Riemann, giả thiết nổi tiếng nhất trong toán hiện đại, nếu đúng, sẽ cho ta một câu trả lời chính xác. Giả thiết này là một trong những bài toán triệu đô. Theo sự đánh giá của mình, với tốc độ lạm phát hiện tại, thì đến ngày một nhà toán học xuất chúng giải quyết giả thiết Riemann, rất có thể triệu đô sẽ chỉ mua được 5 cân gạo và 3 con gà. An ủi ở đây là cả 3 và 5 đều là số nguyên tố. 

 

Lan man mãi, ta phải quay lại anh Maynard. Gà và gạo được chọn, vì chúng là những thứ rất thân quen với người Việt chúng ta. Nhưng 3 và 5, thì là vì chúng đặt biệt. Hai số này là một cặp nguyên tố “sinh đôi”. 

 

Trẻ con sinh đôi sẽ ra đời sau nhau vài phút. Số nguyên tố “sinh đôi” nếu chúng cách nhau càng ít càng tốt. Trừ cặp 2,3 đáng ghét, khoảng cách giữa hai số nguyên tố phải ít nhất là 2, bởi sau số 2 tất cả các số nguyên tố phải lẻ. Nếu khoảng cách chính xác là 2, thì cặp đó là “sinh đôi”. (Vi dụ 5 và 7 là một cặp sinh đôi khác.) Giả thiết “nguyên tố sinh đôi” (twin prime cọnjecture) nói rằng số cặp nguyên tố là vô hạn. 

 

Giả thiết này cũng vô cùng nổi tiếng, và cũng ôi thôi là khó. Bởi lẽ số nguyên tố, như định lý N/log N ở trên đã nói, ngày càng thưa đi, nghĩa là khoảng cách nói chung phải tăng lên. Thâm chí định lý này nói rằng nếu một số nguyên tố có độ lớn là N, thì khoảng cách đến anh bạn gần nhất của nó, trong phần lớn các trường hợp, sẽ là log N. Giả thiết sinh đôi, bởi vậy, là trái với lẽ thường tình. Nó nói rằng các trường hợp đặc biệt, thậm chí đặc biệt nhất có thể, vẫn xảy ra, và xảy ra vô hạn lần. 

 

Ròng rã nhiều thế kỷ, các nhà toán học căm cụi tìm, hay chứng minh sự tồn tại, của các cặp số nguyên tố mà khoảng cách của chúng nhỏ hơn đáng kể so với trường hợp “thường tình”. Hỡi ơi trời chẳng chiều người, cho đến cách đây 10 năm, kết quả tốt nhất của họ là tìm được những cặp mà log N được thay bằng c log N, trong đó c là một hằng số dương nhỏ bất kỳ với N tiến ra vô cùng. 

 

Chấn động xảy ra năm 2013; nhưng nó lại chẳng phải từ anh Maynard. Chấn động này đến từ Zhang, một nhà toán học gốc Trung quốc, khi anh chứng minh là có vô số cặp số nguyên tố mà khoảng cách giữa chúng nhiều nhất là 70 triêu. 70 triệu nghe có vẻ to, nhưng quan trọng là nó không phụ thuộc vào độ lớn của các số nguyên tố trong cuộc. So với các kết quả trước, nó nhảy vọt khỏi sự mơ ước của các chuyên gia trong cuộc. Thú vị hơn nữa, anh Zhang là tay chơi “nghiêp dư”, theo nghĩa là anh không phải giáo sư của trường đại học nào, và trước đó chả ai biết đến anh cả. Có giai đoạn thất nghiệp, anh còn phải đi bán bánh. Nói nôm na, Lọ lem của toán học đúng là anh. 

 

Đáng tiếc, lúc đó anh Zhang đã gần 60, nên trượt giải Fields. Bù lại anh được khá nhiều giải khác, trong đó có giải McAthur, được coi là giành cho các “thiên tài”. Và anh có job, cố định. 

 

Bây giờ mới đến anh Maynard. Anh bước vào câu chuyện bởi vì khi Zhang đăng công trình của mình và gặt hái vinh quang, Maynard cũng đang trên con đường tiến tới một kết quả tương tự—và lúc đó, mới làm xong luận án tiến sĩ, cũng chả mấy ai biết tới anh hết. 

Thường thì trâu chậm uống nước đục, nhưng Maynard không nản chí, vì phương pháp của anh có chỗ độc đáo, khác với phương pháp của Zhang. Nó đã dẫn tới một kết quả mạnh hơn, đó là cho ngoài việc sinh đôi, ta có thể nghiên cứu sinh ba, sinh bốn, sinh năm vvv. 

 

Sự việc bây giờ đã khá dễ hiểu. Nếu tại thời điểm này, bạn chưa ngủ gật hay chuyển sang xem phim ngôn tình, thì dễ dang đoan được kết quả của Maynard là gì: anh ấy chứng mình rằng với số k cho trước (k=2,3,45,..), có một số c(k) chỉ phụ thuộc vào k, để tồn tại vô số bộ k số nguyên tố, trong đó khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất bị chặn trên bởi c(k). Trong trường hợp k=2, đó là kết quả của Zhang; ngay trong trường hợp này, c(2) của Maynard cũng giảm đáng kể, từ 70 triệu xuống còn đơn vị trăm. Tuy vậy, việc giảm c(2) xuống 2 (the original twin prime cọnjecture) vấn được coi là quá khó với các công cụ hiện có. 

 

Một kêt quả nổi bật khác của Maynard, cũng về khoảng cách giữa hai số gần nhất, nhưng lại liên quan đến chặn trên. Như đã nói ở trên, khoảng cách này trung bình là log N (nếu hai số ta nói đến có độ lớn N). Tìm ra các cặp có khoảng cách nhỏ hơn log N đáng kể đã khó, mà tìm ra các cặp có khoảng cách lớn hơn log N đáng kể cũng khó nốt. Kêt quả của Maynard hịện đang là kỷ lục cho câu hỏi thứ hai. Ta không viết công thức cụ thể ra vì nó khá phức tạp, nhưng các bước kỹ thuật để đi đến kêt quả này cũng rất sáng tạo. 

 

Một điểm thú vị nữa, cả hai kết quả của Maynard được chứng minh cùng một lúc với Terence Tao (và một nhóm đồng nghiệp). Nhà toán học giỏi có nhiều, nhưng điều đáng khâm phục nhất về Terry là anh ấy có thể làm việc cũng một lúc trên 3, 4 lĩnh vực khác nhau, và trên lĩnh vực nào cũng hoặc đối đầu, hoặc cộng tác, với những chuyên gia đầu ngành của lĩnh vực đó, và tạo ra các công trình bậc nhất. Kiểu như bạn vừa chơi bóng đá với Ronaldo trong trận chung kết C1, và vừa đối đầu với Le Bronn James trong play-off của NBA vậy. 

 

May mắn, Tao đã được giải Fields rồi (ngẫu nhiên, đóng góp quan trọng cho giải của Tao cũng là công trình về số nguyên tố, chứng minh sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ trong dãy số nguyên tố, làm cùng với Green). Túm lại, những công trình có tính đột phá về số nguyên tố, chẳng những là hay, mà gần như chắc chắn sẽ dẫn tới các giải thưởng to đùng…

 

Vậy có thơ rằng

Working hard, day and night 

Prime cùng với Prize một vần.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh