Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm bán kính, chiều cao của hình viên phân biết dây cung và cung

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trong thực tế sản xuất mái vòm cuốn bằng kim loại, người ta gặp bài toán sau:

 

Tìm bán kính của đường tròn $R$ và chiều cao $h$ của hình viên phân có độ dài cung là $l$ và độ dài dây cung là $w$. 

 

screenshot_1660405642.png

 

Bạn hãy giúp nhà sản xuất giải bài toán trên.

 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Ta có:
$w=2R\sin\theta\;\;(1)$
$l=2R\theta\;\;(2)$
$h=R(1-\cos\theta)$
Theo lý thuyết thì hai phương trình đầu tiên tìm được $\theta$ và $R$
Chia vế theo vế (1) cho (2) thì
$\frac{\sin\theta}{\theta}=\frac{w}{l}$
Có định nghĩa cho hàm $f(x)=\frac{\sin x}{x}=\text{sinc } x$
Nhưng không thấy định nghĩa cho hàm ngược $\text{sinc}^{-1}x$
https://www.wolframa...unction sinc(x)
Giả sử tồn tại hàm ngược như vậy, khi đó:
$\theta=\text{sinc}^{-1}\left(\frac{w}{l}\right)$
Và bài toán được giải quyết!
——
Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
——
Theo mình bài toán sẽ được giải quyết như vậy!

#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
 

Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
 

Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình

$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x  = 0$$

Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:

$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$

Ta lập dãy

$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$

 

Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.

 

p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
 
Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình
$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x  = 0$$
Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:
$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$
Ta lập dãy
$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$
 
Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.
 
p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel

Phương pháp hay! Em có thể in bằng “máy in” pfd ra file pdf mà
Nhắc tới bài toán này mình lại phải “đào” cái này lên
https://diendantoanh...ũa/#entry670953

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Anh Thế có thể làm một cái so sánh nhỏ giữa phương pháp Newton mà anh đề xuất phía trên và phương pháp khai triển Taylor của thầy Thanh được không ạ?

Nếu lấy tới $o(x^4)$ mà sai số vẫn lớn so với yêu cầu thì mình tìm thử xem $n$ bao nhiêu để $R(x)=o(x^{2n})$ đủ nhỏ? Em tìm sơ mà không nhớ được cái định lý nào đánh giá về giá trị của $|R(x)|$ này :(


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh