Đến nội dung

Hình ảnh

Giải tích 12: Cực trị của hàm số

* * * * * 1 Bình chọn cực trị của hàm số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Suy ngẫm về kĩ năng phác họa đồ thị em tự có câu hỏi sau.

 

 

Suy ngẫm về kĩ năng phác họa đồ thị em tự có câu hỏi sau.

https://drive.google...iew?usp=sharing



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Hỗ trợ gõ công thức. Biết hàm số $y= f\left ( x \right )$ tồn tại một nghiệm bội lẻ là $x_{2}\!$, một nghiệm bội chẵn là $x_{1}\!$, và không tồn tại nghiệm nào khác trong khoảng $\left ( x_{1}, x_{2} \right )\!$. Vậy tồn tại mấy điểm cực trị trong khoảng $\left ( x_{1}, x_{2} \right ){\it ?}$



#3
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Số cực trị của hàm số $f(x)$ không phụ thuộc vào số nghiệm của $f(x)=0$. Với giả thiết của bạn, hàm số $y=f(x)$ có thể có $0, 1, 2, ....$ đến vô số cực trị trong $(x_1,x_2)$.
 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Số cực trị của hàm số $f(x)$ không phụ thuộc vào số nghiệm của $f(x)=0$. Với giả thiết của bạn, hàm số $y=f(x)$ có thể có $0, 1, 2, ....$ đến vô số cực trị trong $(x_1,x_2)$.
 

Anh có thể đưa ra ví dụ minh họa được không ạ?



#5
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

hh.jpg

 

Hình thứ nhất: không có cực trị

Hình thứ hai: có 1 cực trị

Hình thứ ba: có nhiều cực trị


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#6
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

 

attachicon.gif hh.jpg

 

Hình thứ nhất: không có cực trị

Hình thứ hai: có 1 cực trị

Hình thứ ba: có nhiều cực trị

Ví dụ về một hàm f(x) cụ thể ạ, các trường hợp em cũng nghĩ tới rồi ạ.



#7
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

1) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix}  x^2 & khi  & x \leq 1 \\   x & khi & 1 <x \leq 2 \\  2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$

Hàm này không có cực trị trong $(0;4)$ dù thỏa mãn các giả thiết.
 
2) $f(x)=x^2(x-1)$ Hàm này có đúng 1 cực trị trong $(0;1)$ dù thỏa mãn các giải thiết

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#8
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

 

1) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix}  x^2 & khi  & x \leq 1 \\   x & khi & 1 <x \leq 2 \\  2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$

Hàm này không có cực trị trong $(0;4)$ dù thỏa mãn các giả thiết.
 
2) $f(x)=x^2(x-1)$ Hàm này có đúng 1 cực trị trong $(0;1)$ dù thỏa mãn các giải thiết
 
3) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix} x^2 & khi  & x \leq 1 \\  1 + \sin (x) & khi & 1 <x \leq 2 \\  2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$

 

Em đang muốn xét một hàm liên tục trên R giống như ví dụ 2 mà anh đưa ra , một hàm f(x) không phân ra các khoảng, không biết liệu có gì khác không ạ



#9
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Em đang muốn xét một hàm liên tục trên R giống như ví dụ 2 mà anh đưa ra , một hàm f(x) không phân ra các khoảng, không biết liệu có gì khác không ạ

Muốn biết liệu có nhiều hơn một cực trị hay không bạn phải tự chứng minh, đừng tin vào cảm giác. Không có kết luận nào chính xác mà không cần chứng minh cả?
Bạn nghĩ đơn giản mấy cái hàm đa thức, phân thức liên tục trên khoảng nghiệm giữa chúng không có nghiệm nào khác thì bạn kết luận giữa khoảng đó có đúng một cực trị!
Nhưng hàm số liên tục đâu nhất thiết phải có dạng đó?
Theo bạn thì hàm số liên tục có đồ thị như hình dưới có mấy cực trị trong khoảng $(-2,7)$
F0174B38-2C58-4E3E-A674-083354071A51.jpeg

#10
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Muốn biết liệu có nhiều hơn một cực trị hay không bạn phải tự chứng minh, đừng tin vào cảm giác. Không có kết luận nào chính xác mà không cần chứng minh cả?
Bạn nghĩ đơn giản mấy cái hàm đa thức, phân thức liên tục trên khoảng nghiệm giữa chúng không có nghiệm nào khác thì bạn kết luận giữa khoảng đó có đúng một cực trị!
Nhưng hàm số liên tục đâu nhất thiết phải có dạng đó?
Theo bạn thì hàm số liên tục có đồ thị như hình dưới có mấy cực trị trong khoảng $(-2,7)$
attachicon.gif F0174B38-2C58-4E3E-A674-083354071A51.jpeg

Chắc chắn là em muốn chứng minh rồi, nhưng chỉ là một học sinh mới lên lớp 12 em chưa đủ kiến thức,cx là do em chưa nói rõ ràng,em chỉ muốn xét một hàm dạng phổ biến trong đề thi một hàm dạng $f(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...$ liệu rằng có mối quan hệ nào đó giữa số nghiệm và số điểm cực trị hay không, còn những hàm khác thì thật sự em chưa biết nhiều ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khamphakithuat: 15-08-2022 - 18:41


#11
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Chắc chắn là em muốn chứng minh rồi, nhưng chỉ là một học sinh mới lên lớp 12 em chưa đủ kiến thức,cx là do em chưa nói rõ ràng,em chỉ muốn xét một hàm dạng phổ biến trong đề thi một hàm dạng $f(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...$ liệu rằng có mối quan hệ nào đó giữa số nghiệm và số điểm cực trị hay không, còn những hàm khác thì thật sự em chưa biết nhiều ạ.

Theo như Nesbit được biết thì đối với một hàm số tổng quát, không có sự liên quan giữa số nghiệm và số điểm cực trị. Tuy nhiên số điểm cực trị lại liên quan rất chặt chẽ với số nghiệm của đạo hàm, bởi vì nếu $f$ đạt cực trị tại $x_0$ và $f'(x_0)$ tồn tại thì $f'(x_0) = 0$ (với giả thiết $x_0$ là một điểm nằm hoàn toàn bên trong, tức không nằm trên "rìa", của miền xác định của $f$).

 

Như vậy với đa thức bậc $n$ thì số điểm cực trị sẽ không thể vượt quá $n-1$ vì đạo hàm của đa thức bậc $n$ là một đa thức bậc $n-1$, đa thức này có tối đa $n-1$ nghiệm.

 

Ngoài ra, với $n$ điểm bất kì cho trước thì ta luôn có thể tìm một đa thức mà có $n$ điểm đó là điểm cực trị bằng cách lấy nguyên hàm. Ví dụ để tìm một đa thức có $1, 2,\dots,n$ là điểm cực trị, thì chỉ cần lấy nguyên hàm của $(x-1)(x-2)\dots(x-n)$.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#12
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Theo như Nesbit được biết thì đối với một hàm số tổng quát, không có sự liên quan giữa số nghiệm và số điểm cực trị. Tuy nhiên số điểm cực trị lại liên quan rất chặt chẽ với số nghiệm của đạo hàm, bởi vì nếu $f$ đạt cực trị tại $x_0$ và $f'(x_0)$ tồn tại thì $f'(x_0) = 0$ (với giả thiết $x_0$ là một điểm nằm hoàn toàn bên trong, tức không nằm trên "rìa", của miền xác định của $f$).

 

Như vậy với đa thức bậc $n$ thì số điểm cực trị sẽ không thể vượt quá $n-1$ vì đạo hàm của đa thức bậc $n$ là một đa thức bậc $n-1$, đa thức này có tối đa $n-1$ nghiệm.

 

Ngoài ra, với $n$ điểm bất kì cho trước thì ta luôn có thể tìm một đa thức mà có $n$ điểm đó là điểm cực trị bằng cách lấy nguyên hàm. Ví dụ để tìm một đa thức có $1, 2,\dots,n$ là điểm cực trị, thì chỉ cần lấy nguyên hàm của $(x-1)(x-2)\dots(x-n)$.

Trích dẫn một bài, em thấy kĩ thuật này cũng rất thú vị , em cũng tìm  thì cũng không có nhiều kênh làm về kĩ thuật này, nếu thật sự không có cơ sở thì cũng hơi tiếc ạ.

Untitled.png?width=320&height=320&fit=bo



#13
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Trích dẫn một bài, em thấy kĩ thuật này cũng rất thú vị , em cũng tìm thì cũng không có nhiều kênh làm về kĩ thuật này, nếu thật sự không có cơ sở thì cũng hơi tiếc ạ.
Untitled.png?width=320&height=320&fit=bo

Một lời giải rất phiến diện và rất thiếu căn cứ.
Cho dù là đồ thị của hàm đa thức có như hình vẽ thì cũng không ai dám khẳng định đó là hàm đa thức bậc 3. Đừng nói việc vẽ ra đồ thị của đáp án…
$f(x)=(x-1)(x^2-9).P(x)$
trong đó $P(x)$ là một đa thức bậc lẻ bất kỳ cũng thoả cái đồ thị như trên.
Ví dụ: $P(x)=(x+10)$
https://www.wolframa...x+10),{x,-5,4}]
433AC97B-7BC0-49C3-B21F-5FBA64D9DD6E.jpeg
7 cực trị đây!
Nhảm nhí thật!
Không biết thầy nào nghĩ ra cái này!

#14
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Một lời giải rất phiến diện và rất thiếu căn cứ.
Cho dù là đồ thị của hàm đa thức có như hình vẽ thì cũng không ai dám khẳng định đó là hàm đa thức bậc 3. Đừng nói việc vẽ ra đồ thị của đáp án…
$f(x)=(x-1)(x^2-9).P(x)$
trong đó $P(x)$ là một đa thức bậc lẻ bất kỳ cũng thoả cái đồ thị như trên.
Ví dụ: $P(x)=(x+10)$
https://www.wolframa...x+10),{x,-5,4}]
attachicon.gif 433AC97B-7BC0-49C3-B21F-5FBA64D9DD6E.jpeg
7 cực trị đây!
Nhảm nhí thật!
Không biết thầy nào nghĩ ra cái này!

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/

Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.



#15
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/
Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.

Với đa thức, có thể chứng minh được khẳng định đó đúng!
———
Nhờ thầy Thế (E. Galois) )giải quyết cho bạn nhé!

#16
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/

Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.

 

Đối với hàm số đa thức thì đúng.

 

Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị. 

Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số  $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).

Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$

Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị. 

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm. 

Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị
 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#17
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Đối với hàm số đa thức thì đúng.

 

Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị. 

Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.

Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số  $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).

Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$

Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị. 

Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm. 

Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị
 

Thế thì đúng luôn với cả trường hợp tổng quát này luôn ạ.

Cho $f(x)$ là đa thức bậc k có k nghiệm.Trong đó có m nghiệm bội chẵn , n nghiệm bội lẻ thì $f(x)$ có số điểm cực trị là $2m+n-1$



#18
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Thế thì đúng luôn với cả trường hợp tổng quát này luôn ạ.
Cho $f(x)$ là đa thức bậc k có k nghiệm.Trong đó có m nghiệm bội chẵn , n nghiệm bội lẻ thì $f(x)$ có số điểm cực trị là $2m+n-1$

Cái này khá hiển nhiên với đa thức:
Giữa hai nghiệm có một cực trị, giữa $m+n$ nghiệm có $m+n-1$ cực trị. Mỗi nghiệm bội chẵn là một cực trị vì tiếp xúc với trục hoành. Nên nhớ là chỉ áp dụng với đa thức.

#19
khamphakithuat

khamphakithuat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

Cái này khá hiển nhiên với đa thức:
Giữa hai nghiệm có một cực trị, giữa $m+n$ nghiệm có $m+n-1$ cực trị. Mỗi nghiệm bội chẵn là một cực trị vì tiếp xúc với trục hoành. Nên nhớ là chỉ áp dụng với đa thức hoặc phân thức có mẫu vô nghiệm.

Em đã suy nghĩ và có chứng minh như sau.

8f0dcf8094e5ef34efe4598a59d1eef3.jpg






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh