Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a\geq 1, bc\geq 1$

Tìm min $P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$


Dư :unsure: Hấu   


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a\geq 1, bc\geq 1$

Tìm min $P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$

Bài này mình làm có vẻ hơi mất công, chắc sẽ có cách khác ngắn gọn hơn thôi  :icon6:

Dễ thấy 

$$P\ge \underbrace{\frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}}_{Q}.$$

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $Q\ge \frac{3}{2}$ bằng cách chia ra hai trường hợp.

 

$\bullet$ TH1: $b+c\ge bc+1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

$$Q\ge \frac{(1+b+c)^2}{bc+1+b(c+1)+c(b+1)}=\frac{(1+b+c)^2}{3bc+b+c+1}$$

$\frac{(1+b+c)^2}{3bc+b+c+1}\ge \frac{3}{2}$ tương đương với

\begin{equation} 2b^2+2c^2+b+c\ge 5bc+1.\end{equation}

$(1)$ đúng vì $2b^2+2c^2\ge 4bc$ và $b+c\ge bc+1$.

 

$\bullet$ TH2: $bc+1>b+c$.

Đánh giá như sau

$$Q=\frac{1}{bc+1}+\frac{b^2+c^2+b+c}{(b+1)(c+1)}\ge \frac{1}{bc+1}+\frac{2bc+b+c}{(b+1)(c+1)}.$$

Biến đổi thì có được $ \frac{1}{bc+1}+\frac{2bc+b+c}{(b+1)(c+1)}\ge \frac{3}{2}$ tương đương với

\begin{equation}(bc-1)(bc+1-b-c)\ge 0.\end{equation}

$(2)$ đúng vì $bc\ge 1$ và $bc+1>b+c$.

 

Kết luận: $\min P=\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Đánh giá được : $P\geq \frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}= \frac{1}{bc+1}+\frac{b+c+1}{c+1}+\frac{b+c+1}{b+1}-2$$\geq \frac{1}{\frac{(b+c)^{2}}{4}+1}+(b+c+1)(\frac{4}{b+c+2})-2$

Đặt x = b + c  ( $x\geq 2$ )

Xét hàm $f(x)=\frac{4}{x^{2}+4}+\frac{4(x+1)}{x+2}-2$   ; ( $x\geq 2$ )

$\Rightarrow f'(x)=\frac{-8x}{(x^{2}+4)^{2}}+\frac{4}{(x+2)^{2}}=\frac{4(x-2)^{2}(x^{2}+2x+4)}{(x^{2}+4)^{2}(x+2)^{2}}\geq 0$

Suy ra hàm số luôn đồng biến / $[2;+\infty )$

$\rightarrow P\geq minf(x)=f(2)=\frac{3}{2}$


Dư :unsure: Hấu   





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh