Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a\geq 1, bc\geq 1$
Tìm min $P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a\geq 1, bc\geq 1$
Tìm min $P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$
Dư Hấu
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a\geq 1, bc\geq 1$
Tìm min $P=\frac{a^{3}+2}{3(bc+1)}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}$
Bài này mình làm có vẻ hơi mất công, chắc sẽ có cách khác ngắn gọn hơn thôi
Dễ thấy
$$P\ge \underbrace{\frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}}_{Q}.$$
Tiếp theo ta sẽ chứng minh $Q\ge \frac{3}{2}$ bằng cách chia ra hai trường hợp.
$\bullet$ TH1: $b+c\ge bc+1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì
$$Q\ge \frac{(1+b+c)^2}{bc+1+b(c+1)+c(b+1)}=\frac{(1+b+c)^2}{3bc+b+c+1}$$
$\frac{(1+b+c)^2}{3bc+b+c+1}\ge \frac{3}{2}$ tương đương với
\begin{equation} 2b^2+2c^2+b+c\ge 5bc+1.\end{equation}
$(1)$ đúng vì $2b^2+2c^2\ge 4bc$ và $b+c\ge bc+1$.
$\bullet$ TH2: $bc+1>b+c$.
Đánh giá như sau
$$Q=\frac{1}{bc+1}+\frac{b^2+c^2+b+c}{(b+1)(c+1)}\ge \frac{1}{bc+1}+\frac{2bc+b+c}{(b+1)(c+1)}.$$
Biến đổi thì có được $ \frac{1}{bc+1}+\frac{2bc+b+c}{(b+1)(c+1)}\ge \frac{3}{2}$ tương đương với
\begin{equation}(bc-1)(bc+1-b-c)\ge 0.\end{equation}
$(2)$ đúng vì $bc\ge 1$ và $bc+1>b+c$.
Kết luận: $\min P=\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Đánh giá được : $P\geq \frac{1}{bc+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{b+1}= \frac{1}{bc+1}+\frac{b+c+1}{c+1}+\frac{b+c+1}{b+1}-2$$\geq \frac{1}{\frac{(b+c)^{2}}{4}+1}+(b+c+1)(\frac{4}{b+c+2})-2$
Đặt x = b + c ( $x\geq 2$ )
Xét hàm $f(x)=\frac{4}{x^{2}+4}+\frac{4(x+1)}{x+2}-2$ ; ( $x\geq 2$ )
$\Rightarrow f'(x)=\frac{-8x}{(x^{2}+4)^{2}}+\frac{4}{(x+2)^{2}}=\frac{4(x-2)^{2}(x^{2}+2x+4)}{(x^{2}+4)^{2}(x+2)^{2}}\geq 0$
Suy ra hàm số luôn đồng biến / $[2;+\infty )$
$\rightarrow P\geq minf(x)=f(2)=\frac{3}{2}$
Dư Hấu
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh