Đến nội dung

Hình ảnh

Tính $\lim_{n\rightarrow+\propto }\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1)$

- - - - - giới hạn dãy số bổ đề đơn điệu

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Tính $\lim_{n\rightarrow+\propto }\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1)$



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Đặt $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}} - 1\right)$.

Liên hợp ta có $S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n . \frac{k}{\sqrt{n^2+k}+n}$.

Dẫn đến $S_n < \frac{1}{n} . \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{n^2}+n}=\frac{n+1}{4n}$.

Đồng thời $n^2 + k < \left(n + \frac{1}{2}\right)^2,\forall k = \overline{1,n}$.

Do đó $S_n > \frac{n+1}{4n+1}$.

Suy ra $\frac{n+1}{4n} > S_n > \frac{n+1}{4n+1}$.

Mặt khác $\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{4n} = \lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{4n+1} = \frac{1}{4}$, do đó $\lim_{n\to +\infty}S_n = \frac{1}{4}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 17-08-2022 - 20:00






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giới hạn, dãy số, bổ đề, đơn điệu

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh