Tính $\lim_{n\rightarrow+\propto }\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1)$
#2
Đã gửi 17-08-2022 - 20:00
Đặt $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}} - 1\right)$.
Liên hợp ta có $S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n . \frac{k}{\sqrt{n^2+k}+n}$.
Dẫn đến $S_n < \frac{1}{n} . \sum_{k=1}^n \frac{k}{\sqrt{n^2}+n}=\frac{n+1}{4n}$.
Đồng thời $n^2 + k < \left(n + \frac{1}{2}\right)^2,\forall k = \overline{1,n}$.
Do đó $S_n > \frac{n+1}{4n+1}$.
Suy ra $\frac{n+1}{4n} > S_n > \frac{n+1}{4n+1}$.
Mặt khác $\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{4n} = \lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{4n+1} = \frac{1}{4}$, do đó $\lim_{n\to +\infty}S_n = \frac{1}{4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 17-08-2022 - 20:00
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giới hạn, dãy số, bổ đề, đơn điệu
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạnBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 dãy sô, giới hạn |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\forall \varepsilon ,\exists N= N\left ( \varepsilon \right )\epsilon \mathbb{N}$Bắt đầu bởi Niko27, 06-12-2023 giới hạn |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
CMR hàm số f(x) đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn.Bắt đầu bởi Explorer, 29-11-2023 giới hạn, điểm gián đoạn và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Cho $f(x)=x+e^{x}$ và $g(x)=\frac{x+1}{2x-1}$. Tìm $f^{-1}(g^{-1}(g^{-1}(f(0))))$Bắt đầu bởi Explorer, 31-10-2023 dãy số, đại số, hàm ngược, hàm số |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{1+cos(2n)}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-10-2023 lim, giới hạn |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh