Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm tất cả đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa:

$P(x^2+x-n^2)=P(x)^2+P(x)$.

[chuyenndu]

Thay x=n vào giả thiết có được P(n)=0 nên n là một nghiệm của đa thức P. Đặt $P(x)=(x-n)^kQ(x)$ với $Q(n)\neq 0$, thay vào giả thiết có được

$$(x+n+1)^kQ(x^2+x-n^2)=(x-n)^kQ(x)^2+Q(x)$$

với mọi x khác n. Vì là đa thức nên hệ thức trên cũng đúng với x=n. Thay x=n vào hệ thức trên có được Q(n)=0 (vô lí)