Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.

Dễ thấy với $n\le 3$ thì chỉ có $n=3$ thỏa đề. Từ đây ta chỉ quan tâm tới $n\ge 4$.

Không khó để chứng minh $S(n)\le n$ với mọi $n$. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một số nguyên tố $p>n$ sao cho $p\mid 2^n+1$, khi đó

\[S(n)\le n<p\le S(2^n+1).\]

Như vậy để hoàn thành bài toán ta chỉ cần chứng minh tồn tại số nguyên tố $p$ như trên. Để làm được điều này thì chỉ cần sử dụng định lí Zsigmondy (tham khảo ở đây).

 

Ghi chú: phát biểu của định lí Zsigmondy như sau

$\blacksquare$ Dạng 1

Với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n-b^n\\p\not | a^k-b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$

(Trừ trường hợp $2^6-1^6$ và $a^2-b^2$ với $a+b$ là một lũy thừa của $2$)

$\blacksquare$ Dạng 2

Với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n+b^n\\p\not | a^k+b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$

(Trừ trường hợp $2^3+1^3$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 23-08-2022 - 21:06

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh