Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$
#1
Đã gửi 21-08-2022 - 13:08
#2
Đã gửi 23-08-2022 - 21:01
Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $S(n)$ là tổng các ước nguyên tố phân biệt của $n$ (Ví dụ: $S(1)=0, S(2)=2, S(12)=5, S(45)=8).$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=S(2^n+1)$.
Dễ thấy với $n\le 3$ thì chỉ có $n=3$ thỏa đề. Từ đây ta chỉ quan tâm tới $n\ge 4$.
Không khó để chứng minh $S(n)\le n$ với mọi $n$. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một số nguyên tố $p>n$ sao cho $p\mid 2^n+1$, khi đó
\[S(n)\le n<p\le S(2^n+1).\]
Như vậy để hoàn thành bài toán ta chỉ cần chứng minh tồn tại số nguyên tố $p$ như trên. Để làm được điều này thì chỉ cần sử dụng định lí Zsigmondy (tham khảo ở đây).
Ghi chú: phát biểu của định lí Zsigmondy như sau
$\blacksquare$ Dạng 1
Với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n-b^n\\p\not | a^k-b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$
(Trừ trường hợp $2^6-1^6$ và $a^2-b^2$ với $a+b$ là một lũy thừa của $2$)
$\blacksquare$ Dạng 2
Với mọi $a>b\geq 1$ và $(a,b)=1$ thì luôn có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} p\mid a^n+b^n\\p\not | a^k+b^k\ \ \forall k\in \left [1,n \right ) \end{matrix}\right.$
(Trừ trường hợp $2^3+1^3$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 23-08-2022 - 21:06
- perfectstrong, DOTOANNANG, Hoang72 và 3 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh