Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O), đường cao AD,BE cắt nhau tại H.(AEH) cắt DE tại K,..CMR QT vuông góc với AV

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O). Các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. (AEH) cắt DE tại K khác E. Gọi L là giao AK với BC. CK cắt AB tại T. Trên tia đối HC lấy P sao cho HP/HK=BL/BC.Đường thẳng AD cắt BP tại Q. CMR QT vuông góc với AB

#2
dat09

dat09

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

H3.png

Gọi $F$ là chân đường cao hạ từ $C$ của $\Delta ABC$. Vì $\angle BAD = \angle DAL = \angle BED$ nên $B,L$ đối xứng nhau qua AD. Do $F,K$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,AL$ nên chúng cũng đối xứng nhau qua $AD$. Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta BAL$ và 3 điểm $T,K,C$ ta có:

$\frac{TA}{TB}.\frac{CB}{CL}.\frac{KL}{KA}=1\Rightarrow\frac{TA}{TB}=\frac{CL.FA}{CB.FB}\Rightarrow\frac{TA}{AB}=\frac{CL.FA}{CL.FA+CB.FB}\Rightarrow\frac{TA}{FA}=\frac{CL.AB}{CL.FA+CB.FB}=\frac{CL.AB}{FA(CB-2BD)+CF.FB}=\frac{CL.AB}{BC.AB-2FA.BD}$

Cho $\Delta BFP$ và $A,Q,H$: $\frac{HP}{HF}.\frac{AF}{AB}.\frac{QB}{QP}=1\Rightarrow\frac{QB}{QP}=\frac{AB}{AF}.\frac{HF}{HP}=\frac{AB}{AF}.\frac{BC}{BL}=\frac{AB.BC}{2FA.BD}$

Cho $\Delta PQH$ và $A,F,B$: $\frac{AQ}{AH}.\frac{FH}{FP}.\frac{BP}{BQ}=1\Rightarrow\frac{AQ}{AH}=\frac{FP}{FH}.\frac{BQ}{BP}=\frac{CL}{CB}.\frac{AB.BC}{AB.BC-2FA.BD}=\frac{CL.AB}{AB.BC-2FA.BD}$

Như vậy $\frac{TA}{FA}=\frac{AQ}{AH}$. Suy ra $TQ||HF$ hay $TQ$ vuông góc với $AB$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh