Chủ đề này có 1 trả lời

[Khai Hung]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ có tổng bằng 1. Tìm gtln và gtnn của biểu thức $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-08-2022 - 23:56
Tiêu đề + LaTeX

[chuyenndu]

Biến đổi A=(a+b+c)(ab+bc+c)-3abc=ab+bc+ca-3abc

giả dụ $c=min(a,b,c)$ thì $c\le \frac{1}{3}$

+ GTNN: $A=ab(1-3c)+bc+ca\ge 0$

Vậy minA=3, dấu bằng khi (0,0,1)

+GTLN: $A=ab(1-3c)+c(a+b)=ab(1-3c)+c(1-c)\le \frac{(1-c)^2}{4}(1-3c)+c(1-c)$

có $\frac{(1-c)^2}{4}(1-3c)+c(1-c)\le \frac{1}{4}\Leftrightarrow c(3(c-1)c+1)\ge 0$ (luôn đúng)

Vậy $maxA=\frac{1}{4}$, dấu bằng khi $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 23-08-2022 - 10:19