#1
Đã gửi 24-08-2022 - 19:41
Tính $S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}$
- DOTOANNANG và Hoang72 thích
#2
Đã gửi 24-08-2022 - 20:22
Cho dãy số $$\left\{\begin{align*}&u_0=2 \\ &u_n=u_{n-1}^2-u_{n-1}+1,\;\;\;(n\ge 1)\end{align*}\right.$$
Tính $S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}$
Mấy dạng $u_n=f(u_{n-1})$ liên quan đến tổng nghịch đảo thường là tìm điểm bất động của hàm $f$. (Có thể tham khảo thêm các bài 6, 8, 15, 18, 25 ở đây)
Cụ thể trong bài này với $f(x)=x^2-x+1$ thì điểm bất động là $x=1$, do vậy có biến đổi sau
$$u_n-1=u_{n-1}(u_{n-1}-1)\implies \frac{1}{u_{n-1}}=\frac{1}{u_{n-1}-1}-\frac{1}{u_n-1}.$$
Do đó
$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1} \right )=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}.$$
Công thức tổng quát của $u_n$ không tầm thường, có tên gọi là dãy Sylvester
$$u_n=\left \lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right \rfloor,\quad E\approx 1,2640847353\dots$$
Bài này ở phổ thông thường là yêu cầu tìm $\lim S_n$, đề yêu cầu tính nên chắc thầy Thanh đã có cách xử lí $u_n$ gọn hơn nhỉ (lấy dép ngồi hóng thôi)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-08-2022 - 07:48
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 1 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 24-08-2022 - 21:03
Không nghĩ ra bài này em lại xử lý ngắn gọn vậy! The end.$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1} \right )=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}.$$
Công thức tổng quát của $u_n$ không tầm thường, có tên gọi là dãy Sylvester
Bài này ở phổ thông thường là yêu cầu tìm $\lim S_n$, đề yêu cầu tính nên chắc thầy Thanh đã có cách xử lí $u_n$ gọn hơn nhỉ (lấy dép ngồi hóng thôi)
- perfectstrong, DOTOANNANG và Hoang72 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: summation
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh