Chủ đề này có 2 trả lời

[hxthanh]

Cho dãy số $$\left\{\begin{align*}&u_0=2 \\ &u_n=u_{n-1}^2-u_{n-1}+1,\;\;\;(n\ge 1)\end{align*}\right.$$
Tính $S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}$

[nhungvienkimcuong]

Cho dãy số $$\left\{\begin{align*}&u_0=2 \\ &u_n=u_{n-1}^2-u_{n-1}+1,\;\;\;(n\ge 1)\end{align*}\right.$$
Tính $S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}$

Mấy dạng $u_n=f(u_{n-1})$ liên quan đến tổng nghịch đảo thường là tìm điểm bất động của hàm $f$. (Có thể tham khảo thêm các bài 6, 8, 15, 18, 25 ở đây)

 

Cụ thể trong bài này với $f(x)=x^2-x+1$ thì điểm bất động là $x=1$, do vậy có biến đổi sau

$$u_n-1=u_{n-1}(u_{n-1}-1)\implies \frac{1}{u_{n-1}}=\frac{1}{u_{n-1}-1}-\frac{1}{u_n-1}.$$

Do đó

$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1} \right )=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}.$$

Công thức tổng quát của $u_n$ không tầm thường, có tên gọi là dãy Sylvester

$$u_n=\left \lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right \rfloor,\quad E\approx 1,2640847353\dots$$

 

Bài này ở phổ thông thường là yêu cầu tìm $\lim S_n$, đề yêu cầu tính nên chắc thầy Thanh đã có cách xử lí $u_n$ gọn hơn nhỉ  (lấy dép ngồi hóng thôi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-08-2022 - 07:48

[hxthanh]

Rr

$$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{u_k-1}-\frac{1}{u_{k+1}-1} \right )=1-\frac{1}{u_{n+1}-1}.$$
Công thức tổng quát của $u_n$ không tầm thường, có tên gọi là dãy Sylvester
Bài này ở phổ thông thường là yêu cầu tìm $\lim S_n$, đề yêu cầu tính nên chắc thầy Thanh đã có cách xử lí $u_n$ gọn hơn nhỉ  (lấy dép ngồi hóng thôi)

Không nghĩ ra bài này em lại xử lý ngắn gọn vậy! The end.