Gọi các nghiệm đó là $-(a+2021d), -(a+2020d), ..., -(a+d)$ với $a,d\in\mathbb R$ thì $P(x) = \prod_{i=1}^{2021} (x+a+d.i)$.
Theo hệ thức Viète ta có $(a+d) + (a+2d) + ... + (a+2021d)\in\mathbb Q\Rightarrow 2021a + 2021.1011d \in\mathbb Q\Rightarrow a + 1011d\in\mathbb Q$.
Cũng theo hệ thức Viète ta có $\sum_{1\leq i < j \leq 2021} (a+d.i)(a+d.j) \in\mathbb Q$
$\Rightarrow (a+d + a + 2d + ... + a+2021d)^2 - (a+d)^2 - (a+2d)^2 - ... - (a+2021d)^2 \in\mathbb Q$
$\Rightarrow (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+2021d)^2 \in\mathbb Q$
$\Rightarrow 2021a^2 + 2ad(1 + 2 + ... + 2021) + d^2(1^2 + 2^2 + ... + 2021^2) \in\mathbb Q$
$\Rightarrow a^2 + 2022ad + \frac{2021.2022 . 4043}{6} . d\in\mathbb Q$
$\Rightarrow (a+1011d)^2 + d^2 \left( \frac{2021.2022 . 4043}{6} - 1010^2\right)\in\mathbb Q$
$\Rightarrow d^2\in\mathbb Q$.
Dẫn đến $(a+d) + (a+2021d) = 2a + 2022d\in\mathbb Q$ và $(a+d)(a+2021d) = a^2 + 2022ad + 2021d^2 = (a+1010d)^2 + d^2(2021 - 1010^2) \in\mathbb Q$, hay $a+d$ và $a+2021d$ là hai nghiệm của một đa thức bậc hai có hệ số hữu tỉ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 25-08-2022 - 00:19