Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng trong các nghiệm của $P(x)$ có hai nghiệm là nghiệm của một đa thức bậc hai có hệ số hữu tỉ.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Cho đa thức $P(x)$ bậc $2021$ có hệ số hữu tỉ, hệ số cao nhất bằng $1$ và có đúng $2021$ nghiệm thực phân biệt. Giả sử các nghiệm của đa thức $P(x)$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng trong các nghiệm của $P(x)$ có hai nghiệm là nghiệm của một đa thức bậc hai có hệ số hữu tỉ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 24-08-2022 - 23:11


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Gọi các nghiệm đó là $-(a+2021d), -(a+2020d), ..., -(a+d)$ với $a,d\in\mathbb R$ thì $P(x) = \prod_{i=1}^{2021} (x+a+d.i)$.

Theo hệ thức Viète ta có $(a+d) + (a+2d) + ... + (a+2021d)\in\mathbb Q\Rightarrow 2021a + 2021.1011d \in\mathbb Q\Rightarrow a + 1011d\in\mathbb Q$.

Cũng theo hệ thức Viète ta có $\sum_{1\leq i < j \leq 2021} (a+d.i)(a+d.j) \in\mathbb Q$

$\Rightarrow (a+d  + a + 2d + ... + a+2021d)^2 - (a+d)^2 - (a+2d)^2  - ... - (a+2021d)^2 \in\mathbb Q$

$\Rightarrow (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+2021d)^2 \in\mathbb Q$

$\Rightarrow 2021a^2 + 2ad(1 + 2 + ... + 2021) + d^2(1^2 + 2^2 + ... + 2021^2) \in\mathbb Q$

$\Rightarrow a^2 + 2022ad + \frac{2021.2022 . 4043}{6} . d\in\mathbb Q$

$\Rightarrow (a+1011d)^2 + d^2 \left( \frac{2021.2022 . 4043}{6} - 1010^2\right)\in\mathbb Q$

$\Rightarrow d^2\in\mathbb Q$.

Dẫn đến $(a+d) + (a+2021d) = 2a + 2022d\in\mathbb Q$ và $(a+d)(a+2021d) = a^2 + 2022ad + 2021d^2 = (a+1010d)^2 + d^2(2021 - 1010^2) \in\mathbb Q$, hay $a+d$ và $a+2021d$ là hai nghiệm của một đa thức bậc hai có hệ số hữu tỉ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 25-08-2022 - 00:19





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh