Chủ đề này có 3 trả lời

[Pray for The First]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-08-2022 - 12:46
Tiêu đề + LaTeX

[Le Tuan Canhh]

$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$

Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$   ; với $0\leq a\leq 1$

$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4a}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{2}a^{2}+\frac{5}{2}$

  $f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{3})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{3};1]$

$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{3})=\frac{10}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{3};b=c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 25-08-2022 - 20:19

[Pray for The First]

$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$   ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{3}a^{2}+\frac{5}{2}$
  $f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{\sqrt{3}};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$   ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{3}a^{2}+\frac{5}{2}$
  $f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{\sqrt{3}};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Nhờ anh kiểm tra lại đạo hàm xem đúng chưa? Với lại đạo hàm bằng 0 tại x= ?

[nhungvienkimcuong]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$

Bài này thật ra chính là đề thi học sinh giỏi gia nước mình năm 2002: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b$ và $c$ bất kì thì

\[6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\le 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3}.\]

Bài này có rất nhiều cách chứng minh, có thể tham khảo 2 cách ở đây (Ví dụ 4 - trang 10).