Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-08-2022 - 12:46
Tiêu đề + LaTeX
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-08-2022 - 12:46
Tiêu đề + LaTeX
$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$ ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4a}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{2}a^{2}+\frac{5}{2}$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{3})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{3};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{3})=\frac{10}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{3};b=c=\frac{2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 25-08-2022 - 20:19
Dư Hấu
$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$ ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{3}a^{2}+\frac{5}{2}$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{\sqrt{3}};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Nhờ anh kiểm tra lại đạo hàm xem đúng chưa? Với lại đạo hàm bằng 0 tại x= ?$P=2(b+c)+a(9bc-2)\leq 2\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}+a(\frac{9(b^{2}+c^{2})}{2}-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}+a(\frac{9}{2}(1-a^{2})-2)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$
Xét hàm $f(a)=2\sqrt{2(1-a^{2})}-\frac{9}{2}a^{3}+\frac{5}{2}a$ ; với $0\leq a\leq 1$
$\Rightarrow f'(a)=\frac{-4}{\sqrt{2(1-a^{2})}}-\frac{27}{3}a^{2}+\frac{5}{2}$
$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow$ hàm f(a) đồng biến trên $[0;\frac{1}{\sqrt{3}})$ và nghịch biến trên $(\frac{1}{\sqrt{3}};1]$
$\Rightarrow$ $P\leq max f(a)=f(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Max $P= 2(b+c-a) + 9abc$
Bài này thật ra chính là đề thi học sinh giỏi gia nước mình năm 2002: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b$ và $c$ bất kì thì
\[6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\le 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3}.\]
Bài này có rất nhiều cách chứng minh, có thể tham khảo 2 cách ở đây (Ví dụ 4 - trang 10).
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm max $x^2+y^2$Bắt đầu bởi tinhyeutoanhoc2k7, 09-04-2021 max |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với trục Ox, OyBắt đầu bởi Rhythme, 05-01-2019 hàm số, sự tương giao, lớp10 và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức CauchyBắt đầu bởi Tantran2510, 05-11-2018 gtln, max |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P=\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}$Bắt đầu bởi Khoa Linh, 06-06-2018 max, min |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$Bắt đầu bởi pmt22042003, 03-06-2018 bđt, max, min |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh