Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n| 54^{n}+47^{n}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Sprouts

Sprouts

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

Cho n là số nguyên dương lẻ khác 1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n| 54^{n}+47^{n}$.

 



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho n là số nguyên dương lẻ khác 1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n| 54^{n}+47^{n}$.

Vì $101$ là số nguyên tố nên theo bổ đề nâng lũy thừa (LTE) thì với $n$ lẻ ta có

\[v_{101}(54^n+47^n)=v_{101}(54+47)+v_{101}(n)=1+v_{101}(n).\]

Do vậy nếu $v_{101}(n)=k$ thì $101^{k+1}\mid 54^n+47^n$.

Vậy để cho tiện ta sẽ chọn $n=101^k$ khi đó $101^k\mid 54^{101^k}+47^{101^k}$.

 

P/s: Đề của bạn bị lỗi vì ban đầu là cho $n$ nhưng khúc sau lại yêu cầu chứng minh tồn tại $n$. Nên chỉnh lại thành:

"Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n\mid 54^n+47^n$."

(Vì $n$ là ước của số lẻ nên phải lẻ do vậy yêu cầu $n$ lẻ của đề bài là không cần thiết)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-08-2022 - 08:19

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
Sprouts

Sprouts

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

tại sao $v_{5}(54+47)=2$ vậy ạ?



#4
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

tại sao $v_{5}(54+47)=2$ vậy ạ?

$100=2^2\times 5^2$ nên $2=v_5(100)=v_5(54+47)$.

 

Sau đây là một số bài toán khác tương tự (và khó hơn nữa :icon6:)

Bài 1. CMR tồn tại vô hạn $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho $n^2\mid 2^n+3^n$.

Bài 2. CMR tồn tại $n\in \mathbb{N}^*$ có đúng $2000$ ước nguyên dương sao cho $n\mid 2^n+1$.

Bài 3 (KHTN 2020-2021). CMR tồn tại vô hạn $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho $n^2\mid 3^n-1$.

Bài 4 (VMO 1997). CMR với mọi số nguyên dương $n\in \mathbb{N}^*$ thì luôn tồn tại $k\in \mathbb{N}^*$ sao cho $2^n\mid 19^k-97$.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#5
Sprouts

Sprouts

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

54+47=101 chứ ạ



#6
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

54+47=101 chứ ạ

Lỗi của mình  :icon6: , để chỉnh lại phía trên xíu.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh