Cho n là số nguyên dương lẻ khác 1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n| 54^{n}+47^{n}$.
Cho n là số nguyên dương lẻ khác 1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n| 54^{n}+47^{n}$.
Cho n là số nguyên dương lẻ khác 1. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho $n| 54^{n}+47^{n}$.
Vì $101$ là số nguyên tố nên theo bổ đề nâng lũy thừa (LTE) thì với $n$ lẻ ta có
\[v_{101}(54^n+47^n)=v_{101}(54+47)+v_{101}(n)=1+v_{101}(n).\]
Do vậy nếu $v_{101}(n)=k$ thì $101^{k+1}\mid 54^n+47^n$.
Vậy để cho tiện ta sẽ chọn $n=101^k$ khi đó $101^k\mid 54^{101^k}+47^{101^k}$.
P/s: Đề của bạn bị lỗi vì ban đầu là cho $n$ nhưng khúc sau lại yêu cầu chứng minh tồn tại $n$. Nên chỉnh lại thành:
"Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n\mid 54^n+47^n$."
(Vì $n$ là ước của số lẻ nên phải lẻ do vậy yêu cầu $n$ lẻ của đề bài là không cần thiết)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-08-2022 - 08:19
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
tại sao $v_{5}(54+47)=2$ vậy ạ?
tại sao $v_{5}(54+47)=2$ vậy ạ?
$100=2^2\times 5^2$ nên $2=v_5(100)=v_5(54+47)$.
Sau đây là một số bài toán khác tương tự (và khó hơn nữa )
Bài 1. CMR tồn tại vô hạn $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho $n^2\mid 2^n+3^n$.
Bài 2. CMR tồn tại $n\in \mathbb{N}^*$ có đúng $2000$ ước nguyên dương sao cho $n\mid 2^n+1$.
Bài 3 (KHTN 2020-2021). CMR tồn tại vô hạn $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho $n^2\mid 3^n-1$.
Bài 4 (VMO 1997). CMR với mọi số nguyên dương $n\in \mathbb{N}^*$ thì luôn tồn tại $k\in \mathbb{N}^*$ sao cho $2^n\mid 19^k-97$.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
54+47=101 chứ ạ
54+47=101 chứ ạ
Lỗi của mình , để chỉnh lại phía trên xíu.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh