Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: $u_n\in (0;1)$
Xét $f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x^3$ với $x\in(0;1)$
$f'(x)=3x-\dfrac{3}{2}x^2>0\forall x\in(0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(0;1)$
$\Rightarrow f(u_{n+1})-f(u_n)$ cùng dấu $u_{n+1}-u_n$
$\Rightarrow u_{n+1}-u_n$ cùng dấu $u_2-u_1<0$
$\Rightarrow u_{n+1}<u_n$ nên $u_n$ là dãy giảm
Do $u_n$ là dãy giảm mà $u_1=\dfrac{1}{2}$ nên $0<u_n\le \dfrac{1}{2}$
Ta có: $u_n$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $0$ nên $u_n$ có giới hạn
Đặt $\lim u_n=L\quad (0\le L\le \dfrac{1}{2})$
$L=\dfrac{3}{2}L^2-\dfrac{1}{2}L^3\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}L=0(tm)\\L=1(ktm)\\L=2(ktm)\end{array}\right.$
Vậy $\lim u_n=0$