Đến nội dung

Hình ảnh

$u_{n+1}=\frac{3}{2}u_{n}^{2}-\frac{1}{2}u_{n}^{3}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho dãy số (un) được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2} & \\ u_{n+1}=\frac{3}{2}u_{n}^{2}-\frac{1}{2}u_{n}^{3}& \end{matrix}\right.$, $\forall n\geq 1$ . Tìm lim$u_{n}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 30-08-2022 - 14:44

Dư :unsure: Hấu   


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Cho dãy số (un) được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2} & \\ u_{n+1}=\frac{3}{2}u_{n}^{2}-\frac{1}{2}u_{n}^{3}& \end{matrix}\right.$, $\forall n\geq 1$ . Tìm lim$u_{n}$

Với bài toán kiểu này ta cần phải đánh giá về $u_n$, cụ thể sẽ đánh giá
$0<u_n<…<u_1=\frac{1}{2}$
Chứng minh bằng quy nạp, ta phải cm
$0<u_{n+1}=\frac{3}{2}u_n^2-\frac{1}{2}u_n^3<u_n$
Hay $\begin{cases}0<\frac{u_n^2}{2}(3-u_n) \\ \frac{u_n}{2}(u_n-1)(u_n-2)>0\end{cases}$
Cả hai bđt trên đều đúng theo gtqn
Vậy dãy $(u_n)$ giảm và bị chặn dưới bởi $0$. Gọi $L$ là giới hạn của dãy ta có:
$L=\frac{3}{2}L^2-\frac{1}{2}L^3\Leftrightarrow L(L-1)(L-2)=0\Rightarrow L=0$ (do $u_n<u_1=\frac{1}{2}$)
Vậy $\lim_{n\to \infty}u_n=0$

#3
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Cho dãy số (un) được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\frac{1}{2} & \\ u_{n+1}=\frac{3}{2}u_{n}^{2}-\frac{1}{2}u_{n}^{3}& \end{matrix}\right.$, $\forall n\geq 1$ . Tìm lim$u_{n}$

 

Một cách giải khác bạn tham khảo

$---------------------------------------$

Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được $u_n < 1 \forall n \ge 1$

Xét thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3}{2}u_n - \dfrac{1}{2}u_n^2 - 1 + 1 = -\dfrac{1}{2}(u_n^2 - 3u_n + 2) + 1 = -\dfrac{1}{2}(u_n-1)(u_n-2) + 1$

Do $u_n < 1(\text{CMT})$ nên suy ra $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ nên dãy $u_n$ giảm 

Dễ thấy $u_n$ bị chặn dưới bởi $0$, dãy giảm và chặn dưới nên có giới hạn 

Đặt $limu_n = x(x < \dfrac{1}{2})$ ta có

$2x = 3x^2 - x^3 \iff x(x-1)(x-2) = 0 \iff \left[\begin{matrix} x=0(\text{choose})\\ x=1(\text{loại})\\ x=2(\text{loại})\end{matrix}\right.$

Vậy $limu_n = 0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 06-03-2023 - 20:31


#4
Snowee

Snowee

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: $u_n\in (0;1)$

Xét $f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x^3$ với $x\in(0;1)$

$f'(x)=3x-\dfrac{3}{2}x^2>0\forall x\in(0;1)$

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(0;1)$

$\Rightarrow f(u_{n+1})-f(u_n)$ cùng dấu $u_{n+1}-u_n$

$\Rightarrow u_{n+1}-u_n$ cùng dấu $u_2-u_1<0$

$\Rightarrow u_{n+1}<u_n$ nên $u_n$ là dãy giảm

Do $u_n$ là dãy giảm mà $u_1=\dfrac{1}{2}$ nên $0<u_n\le \dfrac{1}{2}$

Ta có: $u_n$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $0$ nên $u_n$ có giới hạn

Đặt $\lim u_n=L\quad (0\le L\le \dfrac{1}{2})$

$L=\dfrac{3}{2}L^2-\dfrac{1}{2}L^3\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}L=0(tm)\\L=1(ktm)\\L=2(ktm)\end{array}\right.$

Vậy $\lim u_n=0$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh