Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$. Gọi $E,F$ tương ứng là giao điểm của đường thẳng $OD$ với các đường thẳng $AB, AC$. Lấy các điểm $K,H$ thuộc $BC$ sao cho $EK//AC,FH// AB$. Gọi $G$ là giao điểm của $EK$ và $FH$. Chứng minh rằng $(GKH)$ tiếp xúc với $(O)$. 

[dat09]

Lấy $L$ trên $(O)$, $L$ khác $A$ sao cho $DL$ tiếp xúc $(O)$. Dễ thấy $A$ là $L$ đối xứng nhau qua $EF$, suy ra $\angle ELF=\angle EAF=\angle EGF$. Do đó $E,F,G,L$ cùng thuộc một đường tròn. Suy ra $\angle LEK=\angle LFH$ (1)

Áp dụng định lí Menelaus ta có:

$\frac{EB}{EA}.\frac{FA}{FC}.\frac{DC}{DB}=1\Rightarrow \frac{KB}{KC}.\frac{HB}{HC}=\frac{DB}{DC}=\frac{DB}{DA}.\frac{DA}{DC}=\frac{AB^2}{AC^2}$

Suy ra K,H đẳng giác ứng với $\angle BAC$. Từ đây $\Delta AEK \sim \Delta AFH$. Suy ra $\frac{EK}{EA}=\frac{FH}{FA}$ hay $\frac{EK}{EL}=\frac{FH}{FL}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta LKE \sim \Delta LHF$. Do vậy $L,K,H,G$ cùng thuộc một đường tròn

Lại có $ABLC$ là tứ giác điều hòa nên $\frac{KB}{KC}.\frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{LB^2}{LC^2}$, kéo theo $K,H$ đẳng giác ứng với $\angle BLC$. Vậy $(KLH)$ tiếp xúc với $(O)$ hay $(GKH)$ tiếp xúc với $(O)$.