Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG Toán 12 TP.HCM 2021-2022

#hsgtoan12 #hsgtphcm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

SỞ GD&ĐT TP.HỒ CHÍ MINH

KÌ THI HSG CẤP THÀNH PHỐ

Khóa ngày: 07/04/2022

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (3 điểm)
Giải phương trình: $ \log_3\left(\frac{x+5}{x+1}\right)^2=x^2+x$.

Câu 2: (3 điểm)

Cho các hàm số $\ y=f(x), y=f[f(x)], y=f(\sqrt{x^{2}+24})$ có đồ thị lần lượt là $\ (C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$. Đường thẳng $\ x=1$ cắt $(C_{1}), (C_{2}), (C_{3})$ lần lượt tại các điểm $\ M, N, P$. Biết phương trình tiếp tuyến của $\ (C_{1})$ tại $\ M, (C_{2})$ tại $\ N$ lần lượt là $\ y=2x+3, y=202(10x+1)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $\ (C_{3})$ tại $\ P$.

Câu 3: (6 điểm)
Cho tứ diện $\ ABCD$ $\ AB=a, AC=a\sqrt{7}, \angle DAB=\angle DBC=90^{^{o}}, \angle ABC=120^{^{o}}$. Góc giũa hai mặt phẳng $\ (BCD)$ $\ (ABD)$ là $\ 30^{^{o}}$.
a) Tính theo $\ a$ thể tích tứ diện $\ ABCD$.
b) Tính theo $\ a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $\ ABCD$.

Câu 4: (4 điểm)
Xét tập hợp $\ X=\left \{ -10\leq x\leq 10\;|\; x\in \mathbb{Z} \right \}$, chọn ngẫu nhiên các số $\ a, b, c \in X$ để được hàm số bậc ba $\ y=\frac{a}{3}x^{3}-bx^{2}+cx$. Tính xác xuất để hàm số này đạt cực trị tại $\ x=1$.

Câu 5: (4 điểm)
Xét hàm số $ f(x)=\frac{1}{5}x^{5}+\frac{m-6}{4}x^{4}-(2m+1)x^{3}+9x^{2}+2022$ với $\ m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $\ m$ để tổng độ dài các khoảng nghịch biến của hàm số $\ f(x)$ trên $\ (-\infty ; +\infty )$   $\ 2$.

——————
HẾT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 07-09-2022 - 21:34


#2
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Câu 1: Phân tích

Đầu tiên, ta dùng pp Hàm đăc trưng do không thể biến đổi thông thuòng theo cách đại số.

  Tiếp theo, ta tách các logarit bà chuyển về mỗi vế.

   $\log_{3}(x+5)^{2} + (...) = \log_{3}(x+1)^2+ (...)$

Như vậy là đã xong, nhưng cái khó khăn ở đây là bài này giấu rất kĩ, biến đổi $x^2+x$ sang biểu thức bao gồm $(x+5)^2$ và $(x+1)^2$. Do đó, từ ý tưởng và câu hỏi tự đặt ra. Mình có phương pháp sau:

Ta cần biểu diễn $x^2 +x$ theo $(x+5)^2$ và $(x+1)^2$, tức là:

 $ x^{2}+ x=a(x^{2}+10x+25)+b(x^{2}+2x+1)+c$

$ \Leftrightarrow x^{2}+x=(a+b)x^2+(10a+2b)x +25a+b+c$

$ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1 & & \\ 10a +2b=1 & & \\ 25a+b+c=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-\frac{1}{8} & & \\ b=\frac{9}{8} & & \\ c=2 & & \end{matrix}\right.$ 

Giải

 ĐK: $\ \left\{\begin{matrix} x\neq -5 & \\ x\neq -1 & \end{matrix}\right.$ 

 

PT $ \Leftrightarrow \log _{3}(x+5)^2-\log _{3}(x+1)^2=-\frac{1}{8}(x^2+10x+25)+\frac{9}{8}(x^2+2x+1)+2$

$ \Leftrightarrow \log _{3}(x^2+10x+25)+\frac{1}{8}(x^2+10x+25)=\log _{3}(9x^2+18x+9)+\frac{1}{8}(9x^2+18x+9)$

Xét hàm số $ f(t)=\log_{3}t+\frac{1}{8}t, t\in (0;+\infty )$

$ f'(t)=\frac{1}{t\ln3}+\frac{1}{8}>0, \forall t\in (0;+\infty )$

$ \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\ (0;+\infty )$

$ \Rightarrow f(x^2+10x+25)=f(9x^2+18x+9)$

$\ \Leftrightarrow x^2+10x+25=9x^2+18x+9$

$\ \Leftrightarrow 8x^2+8x-16=0$

$\ \Leftrightarrow x=-2 \vee x=1$ (nhận)

 Vậy $ S=\left \{ -2;1 \right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-09-2022 - 14:06
LaTeX


#3
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Câu 2: độc giả tự giải vì không quá khó. Sử dụng công thức đạo hàm và pttt là ra.

DS: y=202x+2020.



#4
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Câu 3a: TT (xem hình vẽ)

Kẻ $\ DE\perp (ABC)$ tại $\ E$

Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của E lên DA và DB.

$\ \left\{\begin{matrix}AB\perp AD & \\ AB\perp DE \ & \end{matrix}\right. \Rightarrow AB\perp (ADE)$

Mà $\ EF\subset (ADE) \Rightarrow AB\perp EF$

Lại có $\ AD\perp EF$

$\ \Rightarrow EF\perp (ABD) (1)$

$\ \left\{\begin{matrix} BC\perp DE & \\ BC\perp DB & \end{matrix}\right. \Rightarrow BC\perp (BDE) \Rightarrow BC \perp EG (EG\subset (BDE))$

Mà $\ BD\perp EG \Rightarrow EG\perp (BCD)(2)$

Từ (1) và (2) => Góc giữa $\ (BCD)$ và $\ (ABD)$ là $\ \widehat({EF,EG})=\widehat{FEG}=30^{o}$

Đặt $\ DE=x$

Đ/l hàm cos: $\ BC=2a$

Ta có: $\ \left\{\begin{matrix} EF\perp (DAB) & \\ FG\subset (DAB) & \end{matrix}\right. => EF\perp FG \Rightarrow \Delta EFG$ vuông tại F.

Lại có $\ \widehat{EBC}=90^{o}(BC\perp (BDE))$

$\ \Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ABC}-\widehat{EBC}=120^{o}-90^{o}=30^{o}$

$\ \Delta ABE$ vuông tại A:

$\ \tan 30^{o}=\frac{EA}{AB}\Rightarrow EA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\ EB=\sqrt{EA^2+AB^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\ \Delta AED$ vuông tại E có đg cao EF

$\ \frac{1}{EF^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EA^2}\Rightarrow EF=\frac{a\sqrt{3}{x}}{3\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+x^2}}$

$\ \Delta EBD$ vuông tại E có đg cao EG

$\ \frac{1}{EG^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EB^2}\Rightarrow EG=\frac{2a\sqrt{3}x}{3\sqrt{(\frac{2a\sqrt{3}}{3})^2+x^2}}$

$\ \Delta EFG$ vuông tại F có $\ \widehat{FEG}=30^o$

$\ \cos 30^o=\frac{EF}{EG} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{\frac{4a^2}{3}+x^2}}{\sqrt{\frac{a^2}{3}+x^2}} \Leftrightarrow ...\Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{6}}$

Vậy $\ V_{ABCD}=\frac{1}{3}.DE.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{6}}.\frac{1}{2}a.2a.\sin 120^o=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

Hình gửi kèm

  • 303027339_759389935288076_4036353208600821986_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 01-09-2022 - 15:11


#5
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Câu 3b: (xem hình vẽ)

Gọi $\ R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $\ ABCD$

Chọn hệ tọa độ $\ Oxyz$ sao cho:

$\ A(a;0;0), B(0;0;0), C(2a\cos 120^o;2a\sin 120^o;0)=C(-a;a\sqrt{3};0)$

* Cần tìm D <= phải tìm E.

Xét mp $\ Oxy$

Ta có $\ EA\perp AB(cmt)$ $\ \Rightarrow x_E=a$

Mà $\ \widehat{EBA}=30^o => BE: y-0=\tan 30^o(x-0) \Leftrightarrow BE:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x \Rightarrow E(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};0)$

Lại có: $\ \left\{\begin{matrix} DE\perp (ABC) & \\ DE=\frac{a}{\sqrt{6}} & \end{matrix}\right. \Rightarrow D(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};\frac{a}{\sqrt{6}})$

Gọi $\ (S): x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0$ là phương trinh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $\ ABCD$

$\ B(0;0;0)\in (S) =>D=0$

$\ A(a;0;0)\in (S) => A=\frac{a}{2}.$

$\ C(-a;a\sqrt{3};0)\in (S) \Rightarrow B=\frac{5a}{2\sqrt{3}}$

$\ D(a;\frac{a\sqrt{3}}{3};\frac{a}{\sqrt{6}})\in (S) \Rightarrow C=\frac{-7\sqrt{6}a}{12}$

Vậy $\ R=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}=a\sqrt{\frac{35}{8}}$

Hình gửi kèm

  • 301931287_604981691275330_7049777627814313082_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 07-09-2022 - 21:27


#6
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Câu 4:

 

Chọn $\ a \in X\setminus \left \{ 0 \right \}: 20$ cách

 

       $\ b\in X: 21$ cách 

 

         $\ c \in X: 21$ cách 

 

=> KGM: $\ n(\Omega )=20.21.21=8820$

 

$\ * y=\frac{a}{3}x^3-bx^2+cx\Rightarrow y'=ax^2-2bx+c$

 

Hàm số cho đạt cực trị tại $\ x=1$ 

 

$\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & & \\ \Delta_{y'}>0 & & \\ y'(1)=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & & \\ b^2-ac>0 & & \\ a-2b+c=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & & \\ (a+c)^2-4ac>0 & & \\ a+c=2b & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & & \\ a\neq c & & \\ a+c=2b & & \end{matrix}\right.$

 

=> Ta cần chọn các số $\ a, b, c$ ($\ a \neq c$) sao cho $\ a, b, c$ lạp thành CSC

 

Ta có: $\ b\in \mathbb{Z} \Rightarrow $ 2b chẵn => a+c chẵn => 2 số a, c phải cũng chẵn hoặc cùng lẻ.

 

TH1: a,c cùng lẻ

Chọn a: 10 cách          

    $\ c \neq a: 9$ cách  

=> có $\ 10.9=90$ cách 

TH2: a,c cùng chẵn 

Chọn $\ a \neq 0: 10$ cách

      $\ c \neq a: 10$ cách

=> có $\ 10.10=100$ cách 

=> có tất cả $\ 100+90=190$ hàm số thỏa ycbt.

Vậy xác xuát cần tìm là: $\ P=\frac{190}{8820}=\frac{19}{882}$.

 

P/s: ở đây mình  chỉ càn chọn 2 số a,c vì từ pt a+c=2b ta có đc tính chát của a,c, đòng thời từ a,c ta sẽ có dc b.

$\ a,c\in \left [ -10;10 \right ] \Rightarrow a+c\in \left [ -20;20 \right ]\Rightarrow 2b\in \left [ -20;20 \right ] \Rightarrow b\in \left [ -10;10 \right ]$   


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 07-09-2022 - 21:27


#7
Toan0710

Toan0710

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

TXĐ: $\ D=\mathbb{R} \Rightarrow f(x)$  liên tục trên $\ \mathbb{R}$ 

$\ f'(x)=x^4+(m-6)x^3-3(2m+1)x^2+18x=x(x-6)(x^2+mx-3)$

$\ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=6\vee x=\frac{-m\pm \sqrt{m^2+12}}{2}$

Nhận xét: $\ \left\{\begin{matrix}-m+\sqrt{m^2+12}>0 & \\ -m-\sqrt{m^2+12}<0 & \end{matrix}\right. , \forall m$

Gọi $\ x_1,x_2,x_3,x_4$ là no của $\ f'(x)=0$ và không mất tính tổng quát của bài toán, ta giả sử $\ x_1< x_2< x_3$

Ycbt $\ \Leftrightarrow \left | x_1-x_2 \right |+\left |x_3-x_4 \right |=2 \Leftrightarrow \left | \frac{-m-\sqrt{m^2+12}}{2}-0 \right |+\left | \frac{-m+\sqrt{m^2+12}}{2}-6 \right |=2 \Leftrightarrow m+\sqrt{m^2+12}+\left | \sqrt{m^2+12}-m-12 \right |=4 (*)$

$\ TH1: \sqrt{m^2+12}-m-12>0 \Rightarrow (*)\Leftrightarrow m+\sqrt{m^2+12}+\sqrt{m^2+12}-m-12=4 \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{13}$

So đk, ta nhận $\ m=-2\sqrt{13}$

$\ TH2:\sqrt{m^2+12}-m-12<0 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow m+\sqrt{m^2+12}-\sqrt{m^2+12}+m+12=4\Leftrightarrow m=-4$

So đk, ta nhận $\ m=-4$

Vậy $\ m\in \left \{ -4; -2\sqrt{13} \right \}$ thì thỏa ycbt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 07-09-2022 - 21:26





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh