Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, ta có đẳng thức sau:

 

$ \binom{n}{ [n/2]} = \binom{n-1}{ [(n-1)/2]} + \sum_{i=0}^{[n/2]-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{n-2i-2}{ [n/2] -i-1}  $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 04-09-2022 - 10:10

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, ta có đẳng thức sau:

 

$ \binom{n}{ [n/2]} = \binom{n-1}{ [(n-1)/2]} + \sum_{i=0}^{[n/2]-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{n-2i-2}{ [n/2] -i-1}  $

Sau đây em chứng minh cho trường hợp $n=2k$, khi đó ta cần chứng minh

$$\binom{2k}{ k} = \binom{2k-1}{ k-1} + \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{2k-2i-2}{ k -i-1}.$$

Chỗ tổng rối rắm có hình dáng của số Catalan, đặt số Catalan thứ $m$ là $c_m:=\frac{1}{m+1}\binom{2m}{m}$. Do vậy

$$\begin{align*} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{i} \binom{2k-2i-2}{k -i-1}&= \sum_{i=0}^{k-1}(k-i)c_ic_{k-1-i}\\&=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^{k-1}(k-i)c_ic_{k-1-i}+\sum_{i=0}^{k-1}(i+1)c_{k-1-i}c_{i}\right)\\&=\frac{k+1}{2}\sum_{i=0}^{k-1}c_ic_{k-1-i}.\end{align*}$$

Một kết quả quan trọng của số Catalan chính là $c_k=\sum_{i=0}^{k-1}c_ic_{k-1-i}$. Do vậy ta chỉ cần chứng minh

$$\binom{2k}{ k} = \binom{2k-1}{ k-1}+\frac{k+1}{2}c_k.$$

Hệ thức này thì đơn giản rồi, chỉ cần khai triển ra là thấy ngay.

Trường hợp $n=2k+1$ hoàn toàn tương tự, chỉ cần chú ý $\binom{2k-2i-1}{k-i-1}=\frac{2k-2i-1}{k-i}\binom{2k-2i-2}{k-i-1}$ để thu được số Catalan.