Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, ta có đẳng thức sau:
$ \binom{n}{ [n/2]} = \binom{n-1}{ [(n-1)/2]} + \sum_{i=0}^{[n/2]-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{n-2i-2}{ [n/2] -i-1} $
Sau đây em chứng minh cho trường hợp $n=2k$, khi đó ta cần chứng minh
$$\binom{2k}{ k} = \binom{2k-1}{ k-1} + \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{2k-2i-2}{ k -i-1}.$$
Chỗ tổng rối rắm có hình dáng của số Catalan, đặt số Catalan thứ $m$ là $c_m:=\frac{1}{m+1}\binom{2m}{m}$. Do vậy
$$\begin{align*} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{i} \binom{2k-2i-2}{k -i-1}&= \sum_{i=0}^{k-1}(k-i)c_ic_{k-1-i}\\&=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^{k-1}(k-i)c_ic_{k-1-i}+\sum_{i=0}^{k-1}(i+1)c_{k-1-i}c_{i}\right)\\&=\frac{k+1}{2}\sum_{i=0}^{k-1}c_ic_{k-1-i}.\end{align*}$$
Một kết quả quan trọng của số Catalan chính là $c_k=\sum_{i=0}^{k-1}c_ic_{k-1-i}$. Do vậy ta chỉ cần chứng minh
$$\binom{2k}{ k} = \binom{2k-1}{ k-1}+\frac{k+1}{2}c_k.$$
Hệ thức này thì đơn giản rồi, chỉ cần khai triển ra là thấy ngay.
Trường hợp $n=2k+1$ hoàn toàn tương tự, chỉ cần chú ý $\binom{2k-2i-1}{k-i-1}=\frac{2k-2i-1}{k-i}\binom{2k-2i-2}{k-i-1}$ để thu được số Catalan.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh