Đến nội dung


Hình ảnh

Đẳng thức tổ hợp với hàm phần nguyên - Tìm cách đơn giản nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 04-09-2022 - 10:09

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, ta có đẳng thức sau:

 

$ \binom{n}{ [n/2]} = \binom{n-1}{ [(n-1)/2]} + \sum_{i=0}^{[n/2]-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{n-2i-2}{ [n/2] -i-1}  $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 04-09-2022 - 10:10

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 547 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 06-09-2022 - 14:54

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, ta có đẳng thức sau:

 

$ \binom{n}{ [n/2]} = \binom{n-1}{ [(n-1)/2]} + \sum_{i=0}^{[n/2]-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{n-2i-2}{ [n/2] -i-1}  $

Sau đây em chứng minh cho trường hợp $n=2k$, khi đó ta cần chứng minh

$$\binom{2k}{ k} = \binom{2k-1}{ k-1} + \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{ i} \binom{2k-2i-2}{ k -i-1}.$$

Chỗ tổng rối rắm có hình dáng của số Catalan, đặt số Catalan thứ $m$ là $c_m:=\frac{1}{m+1}\binom{2m}{m}$. Do vậy

$$\begin{align*} \sum_{i=0}^{k-1} \frac{1}{i+1} \binom{2i}{i} \binom{2k-2i-2}{k -i-1}&= \sum_{i=0}^{k-1}(k-i)c_ic_{k-1-i}\\&=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=0}^{k-1}(k-i)c_ic_{k-1-i}+\sum_{i=0}^{k-1}(i+1)c_{k-1-i}c_{i}\right)\\&=\frac{k+1}{2}\sum_{i=0}^{k-1}c_ic_{k-1-i}.\end{align*}$$

Một kết quả quan trọng của số Catalan chính là $c_k=\sum_{i=0}^{k-1}c_ic_{k-1-i}$. Do vậy ta chỉ cần chứng minh

$$\binom{2k}{ k} = \binom{2k-1}{ k-1}+\frac{k+1}{2}c_k.$$

Hệ thức này thì đơn giản rồi, chỉ cần khai triển ra là thấy ngay.

Trường hợp $n=2k+1$ hoàn toàn tương tự, chỉ cần chú ý $\binom{2k-2i-1}{k-i-1}=\frac{2k-2i-1}{k-i}\binom{2k-2i-2}{k-i-1}$ để thu được số Catalan.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh