Hình như đây là hệ quả của định lý Schur ạ? Tập các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n\in\mathbb Z$ để $p\mid f(n)$ là vô hạn.
Nếu mình không hiểu nhầm thì ý của đề bài là tập $p\mid f(n)$ là vô hạn chỉ trừ một số nguyên tố duy nhất, tức là mạnh hơn kết quả của Schur.
Với một đa thức $Q$ hệ số nguyên và một số nguyên tố $p$, ta nói rằng đa thức $Q$ không bao gồm $p$ nếu không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn: $p | Q(n)$.
Tồn tại chăng một đa thức hệ số nguyên, không có nghiệm hữu tỷ thỏa mãn điều kiện: chỉ không bao gồm đúng $1$ số nguyên tố?
Em nghĩ kết quả này có lẽ có thể chỉ ra được là không nếu sử dụng kết quả mạnh như định lý phân bố của Chebotarev. Ý tưởng chung là tập $p$ mà $Q$ không bao gồm $p$ có mật độ lớn hơn 0, tức là không thể hữu hạn.
Định lý. Giả sử $Q$ là một đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Q}[X]$ có bậc $n\ge 2$. Với mỗi $p$ nguyên tố, ký hiệu $N_{p}(Q)$ là số nghiệm của $Q$ trên $\mathbb{F}_{p}$ (tức là $Q$ modulo $p$). Khi đó tồn tại vô hạn $p$ để $N_{p}(Q)=0$, tức là tồn tại vô hạn $p$ mà $Q$ không bao gồm $p$.
Chứng minh của kết quả này dựa vào định lý Chebotarev có thể tham khảo ở đây hoặc ở đây.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 04-09-2022 - 21:34
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck