Đến nội dung

Hình ảnh

Đa thức chỉ không bao gồm đúng $1$ số nguyên tố

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Với một đa thức $Q$ hệ số nguyên và một số nguyên tố $p$, ta nói rằng đa thức $Q$ không bao gồm $p$ nếu không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn: $p | Q(n)$.

Tồn tại chăng một đa thức hệ số nguyên, không có nghiệm hữu tỷ thỏa mãn điều kiện: chỉ không bao gồm đúng $1$ số nguyên tố?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 04-09-2022 - 16:48

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Hình như đây là hệ quả của định lý Schur ạ? Tập các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n\in\mathbb Z$ để $p\mid f(n)$ là vô hạn.



#3
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Hình như đây là hệ quả của định lý Schur ạ? Tập các số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại $n\in\mathbb Z$ để $p\mid f(n)$ là vô hạn.

Nếu mình không hiểu nhầm thì ý của đề bài là tập $p\mid f(n)$ là vô hạn chỉ trừ một số nguyên tố duy nhất, tức là mạnh hơn kết quả của Schur.

 

 

Với một đa thức $Q$ hệ số nguyên và một số nguyên tố $p$, ta nói rằng đa thức $Q$ không bao gồm $p$ nếu không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn: $p | Q(n)$.

Tồn tại chăng một đa thức hệ số nguyên, không có nghiệm hữu tỷ thỏa mãn điều kiện: chỉ không bao gồm đúng $1$ số nguyên tố?

Em nghĩ kết quả này có lẽ có thể chỉ ra được là không nếu sử dụng kết quả mạnh như định lý phân bố của Chebotarev. Ý tưởng chung là tập $p$ mà $Q$ không bao gồm $p$ có mật độ lớn hơn 0, tức là không thể hữu hạn.

 

Định lý. Giả sử $Q$ là một đa thức bất khả quy trên $\mathbb{Q}[X]$ có bậc $n\ge 2$. Với mỗi $p$ nguyên tố, ký hiệu $N_{p}(Q)$ là số nghiệm của $Q$ trên $\mathbb{F}_{p}$ (tức là $Q$ modulo $p$). Khi đó tồn tại vô hạn $p$ để $N_{p}(Q)=0$, tức là tồn tại vô hạn $p$ mà $Q$ không bao gồm $p$.

 

Chứng minh của kết quả này dựa vào định lý Chebotarev có thể tham khảo ở đây hoặc ở đây.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 04-09-2022 - 21:34

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài này câu trả lời là tồn tại, chứng minh dựa trên việc chỉ ra đa thức $Q(x) = (2x^3+1)(x^2- x+1)$ thỏa đề.

Chứng minh này dựa vào căn nguyên thủy và định lý Fermat nhỏ.


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#5
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Với một đa thức $Q$ hệ số nguyên và một số nguyên tố $p$, ta nói rằng đa thức $Q$ không bao gồm $p$ nếu không tồn tại số nguyên $n$ thỏa mãn: $p | Q(n)$.

Tồn tại chăng một đa thức hệ số nguyên, không có nghiệm hữu tỷ thỏa mãn điều kiện: chỉ không bao gồm đúng $1$ số nguyên tố?

Nhận xét: Với $p$ là số nguyên tố lẻ và $m$ là số nguyên dương sao cho $\left ( \frac{m}{p} \right )=1$ thì tồn tại $x$ là số chẵn thỏa mãn $p\mid x^2-m$.

Quay lại bài toán. Việc chọn đa thức thỏa đề khá thoải mái. Thật vậy, với các số nguyên dương lẻ $a,b,c$ không phải số chính phương nhưng $abc$ là số chính phương thì đa thức

\[P(x)=\big((2x)^2-a\big)\big((2x)^2-b\big)\big((2x)^2-c\big)\]

thỏa đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 10-11-2022 - 14:24

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh