Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\left| 4x^3+ax^2+bx+c \right|$. CM: $M\ge 1$.

dathuc đa thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 NAT

NAT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 232 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bạc Liêu

Đã gửi 04-09-2022 - 21:00

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\left| 4x^3+ax^2+bx+c \right|$. Chứng minh rằng $M\ge 1$.



#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 06-09-2022 - 12:07

Đây là dạng toán quen thuộc liên quan đến đa thức Chevbyshev.

Xét $f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx + c$, giả sử $f(x) < 1,\forall x\in [-1;1]$.

Đặt $A = f(1); B = f(-1); C = f\left(\frac{1}{2}\right)$. Thế thì $|A| < 1; |B| < 1; |C| < 1$.

Ta có hệ: $\begin{cases} 4+a+b+c = A \\ -4 + a - b + c = B \\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{a}{4} + \dfrac{b}{2} + c = C \end{cases}$.

Giải ra ta được $\begin{cases} a = \dfrac{3A+B-4C-6}{3} \\ b = \dfrac{A-B-8}{2} \\ c = \dfrac{8C-3A+B+12}{6} \end{cases}$.

Suy ra $f\left ( \frac{-1}{2} \right )=\frac{-A+B+2C}{2} + 3$.

Lại có $-1 \leq A,B,C\leq 1\Rightarrow -A + B + 2C \geq -1 + (-1) + 2.(-1) = -4$

$\Rightarrow f\left ( \frac{-1}{2} \right )\geq 1$, vô lí vì $\left | f\left ( \frac{-1}{2} \right )\right| <1$.

Vậy $M\geq 1$.



#3 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 07-09-2022 - 16:33

Bài này lời giải đáp án gọn hơn 1 chút như sau:

 

Đặt $ f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c \ ; \  g(x) = 4x^3 -3x \ ; \  h(x) = f(x) - g(x)$

 

Phản chứng, giả sử $ M <1$ , suy ra: $ -1< f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c < 1 $ với mọi  $x \in [ -1 ;1]$ $ (*)$

 

Mặt khác, để ý một loạt các đẳng thức sau: $g(-1) = -1 \ ; \  g \left ( \frac{-1}{2} \right) = 1 \ ; \  g \left ( \frac{1}{2} \right) = -1 \ ; \  g(1) = 1$  $(**)$

 

Kết  hợp $(*)$ với $(**)$ thì ta có : $h(-1) >0 \  ; \  h  \left ( \frac{-1}{2} \right)  <0 \ ; \  h \left ( \frac{1}{2} \right) >0 \ ; \  h(1) = 1 <0$

 

Theo tính chất hàm liên tục, ta thấy rằng $h(x)$ là đa thức bậc không quá $2$ nhưng lại có ít nhất $3$ nghiệm $x_1; x_2; x_3$ thỏa mãn $ -1 < x_1 < \frac{-1}{2} < x_2 < \frac{1}{2} < x_3 < 1$

 

Nên chĩ có thể xảy ra trường hợp $ h(x) \equiv 0$ , vô lý vì ở trên đã chỉ ra $h(-1) >0$

 

Mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-09-2022 - 16:52

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dathuc, đa thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh