Chủ đề này có 2 trả lời

[NAT]

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\left| 4x^3+ax^2+bx+c \right|$. Chứng minh rằng $M\ge 1$.

[Hoang72]

Đây là dạng toán quen thuộc liên quan đến đa thức Chevbyshev.

Xét $f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx + c$, giả sử $f(x) < 1,\forall x\in [-1;1]$.

Đặt $A = f(1); B = f(-1); C = f\left(\frac{1}{2}\right)$. Thế thì $|A| < 1; |B| < 1; |C| < 1$.

Ta có hệ: $\begin{cases} 4+a+b+c = A \\ -4 + a - b + c = B \\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{a}{4} + \dfrac{b}{2} + c = C \end{cases}$.

Giải ra ta được $\begin{cases} a = \dfrac{3A+B-4C-6}{3} \\ b = \dfrac{A-B-8}{2} \\ c = \dfrac{8C-3A+B+12}{6} \end{cases}$.

Suy ra $f\left ( \frac{-1}{2} \right )=\frac{-A+B+2C}{2} + 3$.

Lại có $-1 \leq A,B,C\leq 1\Rightarrow -A + B + 2C \geq -1 + (-1) + 2.(-1) = -4$

$\Rightarrow f\left ( \frac{-1}{2} \right )\geq 1$, vô lí vì $\left | f\left ( \frac{-1}{2} \right )\right| <1$.

Vậy $M\geq 1$.

[supermember]

Bài này lời giải đáp án gọn hơn 1 chút như sau:

 

Đặt $ f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c \ ; \  g(x) = 4x^3 -3x \ ; \  h(x) = f(x) - g(x)$

 

Phản chứng, giả sử $ M <1$ , suy ra: $ -1< f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c < 1 $ với mọi  $x \in [ -1 ;1]$ $ (*)$

 

Mặt khác, để ý một loạt các đẳng thức sau: $g(-1) = -1 \ ; \  g \left ( \frac{-1}{2} \right) = 1 \ ; \  g \left ( \frac{1}{2} \right) = -1 \ ; \  g(1) = 1$  $(**)$

 

Kết  hợp $(*)$ với $(**)$ thì ta có : $h(-1) >0 \  ; \  h  \left ( \frac{-1}{2} \right)  <0 \ ; \  h \left ( \frac{1}{2} \right) >0 \ ; \  h(1) = 1 <0$

 

Theo tính chất hàm liên tục, ta thấy rằng $h(x)$ là đa thức bậc không quá $2$ nhưng lại có ít nhất $3$ nghiệm $x_1; x_2; x_3$ thỏa mãn $ -1 < x_1 < \frac{-1}{2} < x_2 < \frac{1}{2} < x_3 < 1$

 

Nên chĩ có thể xảy ra trường hợp $ h(x) \equiv 0$ , vô lý vì ở trên đã chỉ ra $h(-1) >0$

 

Mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-09-2022 - 16:52