Cho $a,b,c\in \mathbb{R}$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ -1;1 \right]}\left| 4x^3+ax^2+bx+c \right|$. Chứng minh rằng $M\ge 1$.
#1
Đã gửi 04-09-2022 - 21:00
#2
Đã gửi 06-09-2022 - 12:07
Đây là dạng toán quen thuộc liên quan đến đa thức Chevbyshev.
Xét $f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx + c$, giả sử $f(x) < 1,\forall x\in [-1;1]$.
Đặt $A = f(1); B = f(-1); C = f\left(\frac{1}{2}\right)$. Thế thì $|A| < 1; |B| < 1; |C| < 1$.
Ta có hệ: $\begin{cases} 4+a+b+c = A \\ -4 + a - b + c = B \\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{a}{4} + \dfrac{b}{2} + c = C \end{cases}$.
Giải ra ta được $\begin{cases} a = \dfrac{3A+B-4C-6}{3} \\ b = \dfrac{A-B-8}{2} \\ c = \dfrac{8C-3A+B+12}{6} \end{cases}$.
Suy ra $f\left ( \frac{-1}{2} \right )=\frac{-A+B+2C}{2} + 3$.
Lại có $-1 \leq A,B,C\leq 1\Rightarrow -A + B + 2C \geq -1 + (-1) + 2.(-1) = -4$
$\Rightarrow f\left ( \frac{-1}{2} \right )\geq 1$, vô lí vì $\left | f\left ( \frac{-1}{2} \right )\right| <1$.
Vậy $M\geq 1$.
- NAT và perfectstrong thích
#3
Đã gửi 07-09-2022 - 16:33
Bài này lời giải đáp án gọn hơn 1 chút như sau:
Đặt $ f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c \ ; \ g(x) = 4x^3 -3x \ ; \ h(x) = f(x) - g(x)$
Phản chứng, giả sử $ M <1$ , suy ra: $ -1< f(x) = 4x^3 + ax^2 + bx +c < 1 $ với mọi $x \in [ -1 ;1]$ $ (*)$
Mặt khác, để ý một loạt các đẳng thức sau: $g(-1) = -1 \ ; \ g \left ( \frac{-1}{2} \right) = 1 \ ; \ g \left ( \frac{1}{2} \right) = -1 \ ; \ g(1) = 1$ $(**)$
Kết hợp $(*)$ với $(**)$ thì ta có : $h(-1) >0 \ ; \ h \left ( \frac{-1}{2} \right) <0 \ ; \ h \left ( \frac{1}{2} \right) >0 \ ; \ h(1) = 1 <0$
Theo tính chất hàm liên tục, ta thấy rằng $h(x)$ là đa thức bậc không quá $2$ nhưng lại có ít nhất $3$ nghiệm $x_1; x_2; x_3$ thỏa mãn $ -1 < x_1 < \frac{-1}{2} < x_2 < \frac{1}{2} < x_3 < 1$
Nên chĩ có thể xảy ra trường hợp $ h(x) \equiv 0$ , vô lý vì ở trên đã chỉ ra $h(-1) >0$
Mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử ban đầu là sai và ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-09-2022 - 16:52
- NAT, perfectstrong và Hoang72 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dathuc, đa thức
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh