Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 04-09-2022 - 22:34

Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:

 

$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 547 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 06-09-2022 - 15:07

Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:

 

$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$

Bài này khá chặt, nhìn thấy $abc=1$ nên ở đây ta tìm cách sử dụng bất đẳng thức Vasc $\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge 1$. Cụ thể là tìm $k,n$ sao cho bất đẳng thức

$$\sqrt{a^2-a+1}-a\ge k\left(\frac{3}{a^{2n}+a^n+1}-1\right)$$

đúng với mọi số $a$ dương.

Vì dấu bằng bất đẳng thức trên tại $a=1$ nên hàm số $f(a)=\sqrt{a^2-a+1}-a- k\left(\frac{3}{a^{2n}+a^n+1}-1\right)$ có $1$ là nghiệm kép, do đó $f'(1)=0$. Từ đây có được $kn=\frac{1}{2}$, tới đây thì mình dự đoán $k=\frac{1}{2}$ và $n=1$. Việc chứng minh thì không quá khó, thật vậy

$$\sqrt{a^2-a+1}-a\ge \frac{1}{2}\left(\frac{3}{a^{2}+a+1}-1\right)\iff \frac{a^2(a-1)^2}{(a+2)\sqrt{a^2-a+1}+a^2+2}\ge 0.$$

Tới đây thì xong rồi.

 

P/s: Ứng dụng của bất đẳng thức Vasc có thể tham khảo file File gửi kèm  Bat dang thuc Vasc.pdf   254.47K   14 Số lần tải (cái này ngày xưa mình tải ở diễn đàn ta nhưng giờ kiếm lại link cũ thì chưa thấy)


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh