Chủ đề này có 2 trả lời

[NAT]

Cho $P\left( x \right)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $\deg P=n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng với mọi $a>3$ thì

 

$\max\limits_{0\le i\le n+1}\left| {a}^{i}-P\left( i \right) \right|\ge {\left( \frac{a-1}{2} \right)}^{n}$.

[narutosasukevjppro]

Mình nghĩ là quy nạp, khá gọn và đẹp như sau : cụ thể với $\displaystyle n=0$ thì $\displaystyle P( x) \equiv c$ và ta có thể kiểm tra trực tiếp. Giả sử kết luận bài toán đa xcho đúng đến $\displaystyle n-1$. Xét đa thức $\displaystyle P( x)$ tùy ý bậc $\displaystyle n$ với hệ số thực. Khi đó đặt $\displaystyle Q( x) =\frac{P( x+1) -P( x)}{a-1}$

 

Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại số $\displaystyle k$ nguyên sao cho $\displaystyle |a^{k} -Q( k) |\geqslant \left(\frac{a-1}{2}\right)^{n-1}$ sau đó thì thay $\displaystyle Q( k)$ như trên vào rồi biến đổi tương đương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi narutosasukevjppro: 05-09-2022 - 21:41

[nhungvienkimcuong]

Cho $P\left( x \right)\in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $\deg P=n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng với mọi $a>3$ thì

 

$\max\limits_{0\le i\le n+1}\left| {a}^{i}-P\left( i \right) \right|\ge {\left( \frac{a-1}{2} \right)}^{n}$.

Áp dụng kết quả này thì có được: Với đa thức $f(x)$ có $\deg(f)=m<n$ thì

\begin{equation} \label{hqu}
\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(x+k)=0,\ \forall x\in \mathbb{R}.
\end{equation}

 

Áp dụng (\ref{hqu}) cho đa thức $P(x)$ có $\deg(P)<n+1$ ta có
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{n+1-k}\binom{n+1}{k}P(k)=0 .
\end{equation}
Giả sử $\displaystyle \max_{0\le i\le n+1}|a^i-P(i)|< \left(\frac{a-1}{2}\right)^n$, suy ra với mọi $k=\overline{0,n+1}$ thì 

$$a^k- \left(\frac{a-1}{2}\right)^n<P(k)<a^k+\left(\frac{a-1}{2}\right)^n \implies (-1)^{n+1-k}P(k)>(-1)^{n+1-k}a^k-\left(\frac{a-1}{2}\right)^n.$$
Do vậy
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{n+1-k}\binom{n+1}{k}P(k)&>\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\left((-1)^{n+1-k}a^k-\left(\frac{a-1}{2}\right)^n\right)\\
&=(a-1)^{n+1}-2^{n+1}\left(\frac{a-1}{2}\right)^n\\
&> (3-1)(a-1)^{n}-2(a-1)^n=0.
\end{align*}
Điều này mâu thuẫn với $(2)$, vậy ta có được điều cần chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-09-2022 - 15:48