Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

QR1 $5^m +3$ không có bất kỳ ước nguyên tố nào có dạng : $ p= 30k+11$ hay $ p = 30k-1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 06-09-2022 - 22:42

Với $m$ là số nguyên dương tùy ý, hãy chứng minh rằng $5^m +3$ không có bất kỳ ước nguyên tố nào có dạng : $ p= 30k+11$ hay $ p = 30k-1$


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 07-09-2022 - 21:48

Có cách xử lí khác thặng dư bình phương không nhỉ.

Giả sử tồn tại ước nguyên tố của $5^m+3$ dạng $p=30k+11$ hay $30k-1$.

Xét 2 trường hợp:

$\bullet$ $m$ chẵn: Khi đó $\left ( \frac{-3}{p} \right ) = 1$.

Theo luật thuận nghịch bậc hai, ta có $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \dfrac{p}{3} \right ) = (-1)^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}} = (-1)^\frac{p-1}{2}$.

Mà $\left ( \frac{p}{3} \right )=-1$ (Do $p\equiv 2\pmod 3$)

Nên $\left ( \frac{3}{p} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}-1}$.

Mặt khác ta có $\left ( \frac{-1}{p} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

Do đó $\left ( \frac{-3}{p} \right ) = \left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{1}{p} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2} . 2 - 1} = -1$, vô lí.

$\bullet$ $m$ lẻ: Khi đó $p\mid 5^{m+1}+15\Rightarrow \left(\frac{-15}{p}\right) = 1$.

Tương tự như trên, ta thấy $\left ( \frac{5}{p} \right )\left ( \frac{p}{5} \right ) = (-1)^{\frac{(5-1)(p-1)}{4}} = 1$

$\Rightarrow \left(\frac{5}{p}\right) =1$;

$\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

$\Rightarrow \left(\frac{3}{p} \right) = (-1) . (-1)^\frac{p-1}{2}$.

Ngoài ra, $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2}$ nên nhân lại ta thấy điều vô lí.

Vậy ta có đpcm.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh