Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Với $m$ là số nguyên dương tùy ý, hãy chứng minh rằng $5^m +3$ không có bất kỳ ước nguyên tố nào có dạng : $ p= 30k+11$ hay $ p = 30k-1$

[Hoang72]

Có cách xử lí khác thặng dư bình phương không nhỉ.

Giả sử tồn tại ước nguyên tố của $5^m+3$ dạng $p=30k+11$ hay $30k-1$.

Xét 2 trường hợp:

$\bullet$ $m$ chẵn: Khi đó $\left ( \frac{-3}{p} \right ) = 1$.

Theo luật thuận nghịch bậc hai, ta có $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \dfrac{p}{3} \right ) = (-1)^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}} = (-1)^\frac{p-1}{2}$.

Mà $\left ( \frac{p}{3} \right )=-1$ (Do $p\equiv 2\pmod 3$)

Nên $\left ( \frac{3}{p} \right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}-1}$.

Mặt khác ta có $\left ( \frac{-1}{p} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

Do đó $\left ( \frac{-3}{p} \right ) = \left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{1}{p} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2} . 2 - 1} = -1$, vô lí.

$\bullet$ $m$ lẻ: Khi đó $p\mid 5^{m+1}+15\Rightarrow \left(\frac{-15}{p}\right) = 1$.

Tương tự như trên, ta thấy $\left ( \frac{5}{p} \right )\left ( \frac{p}{5} \right ) = (-1)^{\frac{(5-1)(p-1)}{4}} = 1$

$\Rightarrow \left(\frac{5}{p}\right) =1$;

$\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right ) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

$\Rightarrow \left(\frac{3}{p} \right) = (-1) . (-1)^\frac{p-1}{2}$.

Ngoài ra, $\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2}$ nên nhân lại ta thấy điều vô lí.

Vậy ta có đpcm.