Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 2 năm học 2022-2023


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 chuyenndu

chuyenndu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-09-2022 - 16:47

Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 2 năm học 2022-2023

Bài 1 (4 điểm)

a) Giải phương trình $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$

b) Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca\ge 12$

 

Bài 2 (4 điểm)

a) Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho đa thức $P(a+b)+P(b+c)+P(c+a)-P(a)-P(b)-P(c)$ chia hết cho $a+b+c$.

b) Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)-2y)=6x+f(f(y)+x)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 3 (6 điểm)

a) Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho $\frac{2^{p+2}-1}{p}$ cũng là một số nguyên tố

b) Cho số nguyên dương n. CMR với các số nguyên $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ bất kì thì luôn tồn tại một hoán vị $b_1,b_2,...,b_{2n+1}$ của chúng sao cho $(b_1-b_2)(b_3-b_4)...(b_{2n-1}-b_{2n})$ chia hết cho $2^nn!$

c) Kí hiệu $X=\{3,6,...,2022\}$ là tập hợp các số nguyên dương là bội của 3 và không lớn hơn 2022. Kí hiệu $Y=\{5,10,...,2020\}$ là tập hợp các số nguyên dương là bội của 5 và không lớn hơn 2022. Hãy tính giá trị $\sum_{A\subseteq X}\sum_{B\subseteq Y}\left | A\cup B \right |,$ trong đó $|S|$ là kí hiệu số phần tử của tập hợp S.

 

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, I là trung điểm AH. Hai điểm P,Q theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H lên IC,IB

a) Gọi O là tâm (PBC), PQ cắt BC tại T. Chứng minh OH vuông góc với TI

b) Chứng minh AO là phân giác góc BAC

c) Gọi S là giao điểm BP với CQ. Chứng minh (SPQ) và đường tròn đường kính AH tiếp xúc nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 07-09-2022 - 16:47


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 07-09-2022 - 19:52

Câu đa thức em không hiểu chia hết cho $a+b+c$ là như thế nào nhỉ. Có vẻ không rõ ràng lắm.

Nhận thấy $P(a+b) - P(-c)$ chia hết cho $a+b+c$, và tương tự $a+b+c \mid P(b+c)-P(-a) ; a+b+c\mid P(c+a) - P(-b)$.

Do đó $a+b+c\mid P(a) - P(-a) + P(b) - P(-b) + P(c) - P(-c)$.

Đặt $Q(x) = P(x) - P(-x)$. Thế thì $Q(x)$ là đa thức lẻ và $a+b+c\mid Q(a) + Q(b) + Q(c)$.

$\Rightarrow Q(-(b+c)) + Q(b) + Q(c) = 0\Rightarrow Q(b) + Q(c) = Q(b+c)$

$\Rightarrow Q(x) = mx$, với $m$ là hằng số bất kì.

Vậy $P(x) = G(x) + mx$, với $G(x)$ là đa thức chẵn bất kì.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-09-2022 - 19:53


#3 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 07-09-2022 - 20:32

Bài 3:

a) Thấy hơi lạ vì $p\mid 2^{p+2} - 1\Leftrightarrow p\mid 2^3-1\Leftrightarrow p=7$.

b) Trong các số $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ tồn tại hai số có hiệu chia hết cho $2n$. Chọn $b_1,b_2$ là hai số này.

Trong $2n-1$ số còn lại tồn tại hai số có hiệu chia hết cho $2n-2$. Chọn $b_3,b_4$ là hai số này.

Cứ làm liên tục, ta chọn được $b_1,b_2,...,b_{2n}$ mà: $\begin{cases} 2n\mid b_1 - b_2 \\ 2(n-1) \mid b_3 - b_4 \\ ... \\ 2 \mid b_{2n-1} - b_{2n}\end{cases}$.

Mặt khác ta có $2n . 2(n-1) ... 2 = 2^n . n!$.

Vậy tồn tại một hoán vị thoả mãn yêu cầu bài toán.

c) Ta có thể viết lại đẳng thức trên thành: $S = \sum_{A\subseteq X; B\subseteq Y}|A\cup B|$.

Ta tính tổng trên theo từng phần tử thuộc $A\cap B$.

Với mỗi phần tử $u$ thuộc $X\cup Y$ ta đếm số lần xuất hiện của nó.

$\bullet$ Nếu $u\in X \setminus (X\cap Y)$ thì có $2^{673} -1$ cách chọn tập $A$ thoả mãn, còn có $2^{404}-1$ cách chọn tập $B$.

Khi đó có $(2^{673} - 1)(2^{404} - 1)$ cách chọn $(A;B)$.

$\bullet$ Nếu $u\in Y\setminus (X\cap Y)$ thì tương tự ta có $(2^{674} - 1)(2^{403} -1)$ cách chọn $(A;B)$.

$\bullet$ Nếu $u\in X\cap Y$ thì theo nguyên lí bù trừ, có $(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + (2^{674} - 1)(2^{403} -1) - (2^{673} - 1)(2^{403} - 1)$ cách chọn $(A;B)$ thoả mãn.

Do đó $S = 540(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + 270(2^{674} - 1)(2^{403} -1) + 134\left[(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + (2^{674} - 1)(2^{403} -1) - (2^{673} - 1)(2^{403} - 1)\right] = 674(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + 404(2^{674} - 1)(2^{403} -1) - 134(2^{673} - 1)(2^{403} - 1)$.

P/s: Không biết có cách xử lí nào khác không, xử lí như này hơi xấu.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh