Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 2 năm học 2022-2023


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 chuyenndu

chuyenndu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-09-2022 - 16:47

Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 2 năm học 2022-2023

Bài 1 (4 điểm)

a) Giải phương trình $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$

b) Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca\ge 12$

 

Bài 2 (4 điểm)

a) Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho đa thức $P(a+b)+P(b+c)+P(c+a)-P(a)-P(b)-P(c)$ chia hết cho $a+b+c$.

b) Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)-2y)=6x+f(f(y)+x)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$

 

Bài 3 (6 điểm)

a) Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho $\frac{2^{p+2}-1}{p}$ cũng là một số nguyên tố

b) Cho số nguyên dương n. CMR với các số nguyên $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ bất kì thì luôn tồn tại một hoán vị $b_1,b_2,...,b_{2n+1}$ của chúng sao cho $(b_1-b_2)(b_3-b_4)...(b_{2n-1}-b_{2n})$ chia hết cho $2^nn!$

c) Kí hiệu $X=\{3,6,...,2022\}$ là tập hợp các số nguyên dương là bội của 3 và không lớn hơn 2022. Kí hiệu $Y=\{5,10,...,2020\}$ là tập hợp các số nguyên dương là bội của 5 và không lớn hơn 2022. Hãy tính giá trị $\sum_{A\subseteq X}\sum_{B\subseteq Y}\left | A\cup B \right |,$ trong đó $|S|$ là kí hiệu số phần tử của tập hợp S.

 

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, I là trung điểm AH. Hai điểm P,Q theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H lên IC,IB

a) Gọi O là tâm (PBC), PQ cắt BC tại T. Chứng minh OH vuông góc với TI

b) Chứng minh AO là phân giác góc BAC

c) Gọi S là giao điểm BP với CQ. Chứng minh (SPQ) và đường tròn đường kính AH tiếp xúc nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 07-09-2022 - 16:47


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 466 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 07-09-2022 - 19:52

Câu đa thức em không hiểu chia hết cho $a+b+c$ là như thế nào nhỉ. Có vẻ không rõ ràng lắm.

Nhận thấy $P(a+b) - P(-c)$ chia hết cho $a+b+c$, và tương tự $a+b+c \mid P(b+c)-P(-a) ; a+b+c\mid P(c+a) - P(-b)$.

Do đó $a+b+c\mid P(a) - P(-a) + P(b) - P(-b) + P(c) - P(-c)$.

Đặt $Q(x) = P(x) - P(-x)$. Thế thì $Q(x)$ là đa thức lẻ và $a+b+c\mid Q(a) + Q(b) + Q(c)$.

$\Rightarrow Q(-(b+c)) + Q(b) + Q(c) = 0\Rightarrow Q(b) + Q(c) = Q(b+c)$

$\Rightarrow Q(x) = mx$, với $m$ là hằng số bất kì.

Vậy $P(x) = G(x) + mx$, với $G(x)$ là đa thức chẵn bất kì.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-09-2022 - 19:53


#3 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 466 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 07-09-2022 - 20:32

Bài 3:

a) Thấy hơi lạ vì $p\mid 2^{p+2} - 1\Leftrightarrow p\mid 2^3-1\Leftrightarrow p=7$.

b) Trong các số $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ tồn tại hai số có hiệu chia hết cho $2n$. Chọn $b_1,b_2$ là hai số này.

Trong $2n-1$ số còn lại tồn tại hai số có hiệu chia hết cho $2n-2$. Chọn $b_3,b_4$ là hai số này.

Cứ làm liên tục, ta chọn được $b_1,b_2,...,b_{2n}$ mà: $\begin{cases} 2n\mid b_1 - b_2 \\ 2(n-1) \mid b_3 - b_4 \\ ... \\ 2 \mid b_{2n-1} - b_{2n}\end{cases}$.

Mặt khác ta có $2n . 2(n-1) ... 2 = 2^n . n!$.

Vậy tồn tại một hoán vị thoả mãn yêu cầu bài toán.

c) Ta có thể viết lại đẳng thức trên thành: $S = \sum_{A\subseteq X; B\subseteq Y}|A\cup B|$.

Ta tính tổng trên theo từng phần tử thuộc $A\cap B$.

Với mỗi phần tử $u$ thuộc $X\cup Y$ ta đếm số lần xuất hiện của nó.

$\bullet$ Nếu $u\in X \setminus (X\cap Y)$ thì có $2^{673} -1$ cách chọn tập $A$ thoả mãn, còn có $2^{404}-1$ cách chọn tập $B$.

Khi đó có $(2^{673} - 1)(2^{404} - 1)$ cách chọn $(A;B)$.

$\bullet$ Nếu $u\in Y\setminus (X\cap Y)$ thì tương tự ta có $(2^{674} - 1)(2^{403} -1)$ cách chọn $(A;B)$.

$\bullet$ Nếu $u\in X\cap Y$ thì theo nguyên lí bù trừ, có $(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + (2^{674} - 1)(2^{403} -1) - (2^{673} - 1)(2^{403} - 1)$ cách chọn $(A;B)$ thoả mãn.

Do đó $S = 540(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + 270(2^{674} - 1)(2^{403} -1) + 134\left[(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + (2^{674} - 1)(2^{403} -1) - (2^{673} - 1)(2^{403} - 1)\right] = 674(2^{673} - 1)(2^{404} - 1) + 404(2^{674} - 1)(2^{403} -1) - 134(2^{673} - 1)(2^{403} - 1)$.

P/s: Không biết có cách xử lí nào khác không, xử lí như này hơi xấu.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh