Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ. Chứng minh các ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$ đều chia $3$ dư $1$.

[Hoang72]

Bài này xuất phát từ bài toán: Cho $p$ là số nguyên tố lẻ dạng $3k+2$. Khi đó không tồn tại $x\in\mathbb Z$ sao cho $p\mid x^2+ 3$.

Chứng minh: Giả sử tồn tại $x\in\mathbb Z$ sao cho $p\mid x^2+3$.

$\bullet$: $x$ lẻ: Đặt $|x|=2m+1(m\in\mathbb Z)$, khi đó $p\mid m^2+m+1$

$\Rightarrow p\mid m^3-1$.

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có $p\mid m^{p-1} - 1=m^{3k+1} - 1$.

Lại có $m^3\equiv 1\pmod p\Rightarrow m^{3k} \equiv 1\pmod p$.

Mà $m^{3k+1}\equiv 1\pmod p$ nên $m\equiv 1\pmod p\Rightarrow p\mid 1$, vô lí.

$\bullet$: $x$ chẵn: Khi đó $x-p$ lẻ và ta cũng suy ra được điều vô lí.

Bài toán được chứng minh.

Trở lại bài toán ban đầu, chỉ cần xét $p$ là ước nguyên tố bất kì của $3^n+1$ thì $p\mid 3(3^n+1) = 3^{\frac{n+1}{2}} +3$, suy ra $p$ có dạng $3k+1$.