Chủ đề này có 1 trả lời

[Altuna]

Cho m,n,p và $\displaystyle m,n\ \in N$ p là số nguyên tố

Tìm p để tồn tại m,n sao cho $\displaystyle 2^{m} .p^{2} +1=n^{5}$

[ThienDuc1101]

Từ GT, ta có $2^m.p^2=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1)$. Khi đó, ta suy ra được n lẻ. Do đó, ta có $(2^m,n^4+n^3+n^2+n+1)=1$. Mà với $n\neq 5$, ta được $(n-1,n^4+n^3+n^2+n+1)=1$. Với $n=5$ thì PT vô nghiệm. Đồng thời, ta chứng minh được $n-1<n^4+n^3+n^2+n+1$. 

Do đó, ta có $2^m=n-1$ và $n^4+n^3+n^2+n+1=p^2$

Khi đó, ta có $n^4+n^3+n^2+n=p^2-1$ $\Rightarrow$ $(n^2+n)(n^2+1)=(p-1)(p+1)$. Thay $n=2^m+1$, ta có $(2^{2m}+3.2^m+2)(2^{2m}+2^{m+1}+2)=(p-1)(p+1)$

Nếu $m>3$ thì VT chia 8 dư 4. Và $(p-1)(p+1)$ là tích của 2 số chẵn liên tiếp. Do đó VP chia hết cho 8 (vô lí).

Khi đó, ta được m = 1 hoặc m = 2.

Thay vào, ta được $(p,n,m)=(11,3,1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThienDuc1101: 12-09-2022 - 21:29