Chủ đề này có 2 trả lời

[dauhoctoanoc]

CRM $2\sqrt{n}-2< \sum \frac{1}{\sqrt{i}}< 2\sqrt{n}-1$ 

[perfectstrong]

Dạng bài này thường là tìm một biểu thức $F(x)$ sao cho $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} < F(x+1) - F(x)$. Vế bên phải là sai phân, phần nào tương tự với đạo hàm. Nói cách khác, $F(x)$ có thể coi là một nguyên hàm của $f(x)$. Với $f(x)=\frac{1}{x}$ thì ta chọn $F(x)=2\sqrt{x}$.

 

Trên đây là nháp để tìm ra biểu thức sai phân. Còn bây giờ mới là công việc chính:

Đặt $F(x)=2\sqrt{x}$ với $x\in \mathbb{R}^+$ thì hàm này liên tục trên mọi khoảng $[i;i+1[$ ($i$ là một số tự nhiên khác 0 bất kỳ.

Do đó, theo định lý giá trị trung bình (định lý Cauchy), tồn tại $x_0 \in ]i;i+1[$ để:

\[F'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{F\left( {i + 1} \right) - F\left( i \right)}}{{\left( {i + 1} \right) - i}} \Leftrightarrow F\left( {i + 1} \right) - F\left( i \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} }}\]

Mặt khác:

\[{x_0} \in \left] {i;i + 1} \right[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} }} < \frac{1}{{\sqrt i }} \Rightarrow F\left( {i + 1} \right) - F\left( i \right) < \frac{1}{{\sqrt i }}\\ \frac{1}{{\sqrt {i + 1} }} < \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} }} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {i + 1} }} < F\left( {i + 1} \right) - F\left( i \right) \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt i }} < F\left( i \right) - F\left( {i - 1} \right) \end{array} \right.\]

Cho $i$ chạy từ $1$ đến $n$ rồi lấy tổng, ta có đpcm.

[perfectstrong]

Sử dụng kỹ thuật nêu trên, bạn hãy thử tự chứng minh một số kết quả quen thuộc sau:

1, $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{i}}  \ge \ln n$. Từ đó suy ra dãy điều hòa $H\left( n \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{i}}$ phân kỳ.

2, $2 > \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{i^2}}}}  > \frac{3}{2} - \frac{1}{n}$. Đây là bài toán Basel. Và có thể chứng minh kết quả này trực tiếp bằng cách "đánh giá tinh tế" thay vì sử dụng kỹ thuật trên