Đến nội dung

Hình ảnh

$( a+b )^{3}( b+c)^{2}( c+a)\leq \frac{4}{27} ( a+b+c )^{6}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có


 

$\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )\leq \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-09-2022 - 01:50
Tiêu đề

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Đặt: $x=a+b;y=b+c;z=c+a$

BĐT trở thành: $x^{3}y^{2}z\leq \frac{4}{27}(\frac{x+y+z}{2})^{6}=\frac{1}{3^{3}.2^{4}}(x+y+z)^{6}$ (*)

Có: $x.x.x.\frac{3y}{2}\frac{3y}{2}3z\leq \frac{(x+x+x+\frac{3y}{2}+\frac{3y}{2}+3z)}{6^{6}}=\frac{(x+y+z)^{6}}{2^{6}}$

Từ đó suy ra (*) luôn đúng 

Dấu"=" xảy ra khi $2a=b $ và $c=0$ (vô lí, do a,b,c>0)

Nên $\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )< \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Tuan Canhh: 14-09-2022 - 15:23

Dư :unsure: Hấu   


#3
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

ơ nhưng mà đề bảo chứng minh bất đẳng thức $\leq$ mà sao lại chứng minh được <


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#4
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

ơ nhưng mà đề bảo chứng minh bất đẳng thức $\leq$ mà sao lại chứng minh được <

Theo mình thấy thì bài sẽ đẹp hơn khi cho a,b,c không âm, nghĩa là sẽ xảy ra dấu "=" cho bất đẳng thức ( Hoặc có thể là mình làm sai  :D  )

Bất đẳng thức luôn $\leq$ là đúng nhưng đúng hơn sẽ là $<$ vì dấu "=" không xảy ra, ko có giá trị bộ (a,b,c) nào dương mà thỏa mãn$ \left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )= \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

Để viết rõ hơn, thì dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3y}{2}=3z\Leftrightarrow a+b=\frac{3(b+c)}{2}=3(c+a)$$\Leftrightarrow b=2a-3c=c+2a \Rightarrow c=0$ ( vô lí) 


Dư :unsure: Hấu   


#5
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Theo mình thấy thì bài sẽ đẹp hơn khi cho a,b,c không âm, nghĩa là sẽ xảy ra dấu "=" cho bất đẳng thức ( Hoặc có thể là mình làm sai  :D  )

Bất đẳng thức luôn $\leq$ là đúng nhưng đúng hơn sẽ là $<$ vì dấu "=" không xảy ra, ko có giá trị bộ (a,b,c) nào dương mà thỏa mãn$ \left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )= \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

Để viết rõ hơn, thì dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3y}{2}=3z\Leftrightarrow a+b=\frac{3(b+c)}{2}=3(c+a)$$\Leftrightarrow b=2a-3c=c+2a \Rightarrow c=0$ ( vô lí) 

  Thanks b nhaa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 15-09-2022 - 21:32

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

$\le$ là "bé hơn hoặc bằng", vậy thì dấu = không nhất thiết phải xảy ra.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh