Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số tự nhiên n sao cho $3^{2^{2n}}+10$ là số nguyên tố.

- - - - - số nguyên tố hợp số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Tìm các số tự nhiên n sao cho $3^{2^{2n}}+10$ là số nguyên tố.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 15-09-2022 - 21:45

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#2
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Bài này làm như thế này.

 

Dễ thấy $n = 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán, vì $ 3^{2^{0}} + 10 = 3^1 + 10 = 13$ là số nguyên tố.

 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $ 3^{2^{2n}} + 10 = 3^{4^{n}} + 10$ chia hết cho $13$ , và do số này hiển nhiên lớn hơn $13$ nên nó không thể là số nguyên tố.

 

Thật vậy, với $n =1$ thì $ 3^{2^{2}} + 10 =  3^4 + 10 = 91 = 7 \cdot 13 $ , chia hết cho $13$.

 

Vậy khẳng định đúng với $n=1$.

 

Giả sự khẳng định đúng đến $n$, tức là : $ 3^{4^{n}} + 10$ chia hết cho $13$ $(*)$ thì khi đó:

 

 $ 3^{2^{2(n+1)}} + 10 = 3^{4^{n+1}} + 10 =  (3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) + (3^{4^{n}}  + 10)  \ (**)  $

 

Mà: $(3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) = 3^{4^{n}} \cdot \left( 3^{3\cdot 4^{n}} - 1 \right) =  3^{4^{n}} \cdot \left( (3^{3})^{4^{n}} - 1 \right) = 3^{4^{n}} \cdot \left( 27^{4^{n}} - 1 \right)$

 

$27 \equiv 1  \pmod {13}$ $ \implies 27^{4^{n}} \equiv 1 \pmod{13}  \implies  13 | 27^{4^{n}} - 1$

 

Suy ra: $(3^{4^{n+1}} - 3^{4^{n}}) $ chia hết cho $13$ $(***)$

 

Từ $(*)$; $(**)$; $(***)$ suy ra khẳng định  đúng đến $n+1$ và do đó, theo nguyên lý quy nạp Toán Học thì khẳng định được chứng minh hoàn toàn.

 

Dẫn đến kết luận: Chỉ có duy nhất một số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán là $n=0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-03-2023 - 15:40

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số nguyên tố, hợp số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh