Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho $n>1$ và đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ có $n$ nghiệm thực (Tính cả nghiệm trùng nhau). Xét đa thức:

$Q(x)=\prod_{j=1}^{2015}P(x+j)$. Biết $P(2015)=2015$. Chứng minh $Q(x)$ có ít nhất 1970 nghiệm phân biệt $r_{1},r_{2},...,r_{1970}$ sao cho $|r_{i}|<2015, \forall i=\overline{1,1970}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 15-09-2022 - 23:29

[nhungvienkimcuong]

Gọi các nghiệm của đa thức $P(x+2015)$ là $x_1,x_2,\dots,x_n$ sao cho $|x_i|\le |x_{i+1}|$ với mọi $i=\overline{1,n-1}$. Khi đó theo định lí Vi-ét ta có

\[2015=P(2015)=\left|x_1x_2\dots x_n\right|\ge |x_1|^2\implies |x_1|< 45.\]

Với mọi $j=\overline{0,2014}$ thì $P((x_1+j)+2015-j)=P(x_1+2015)=0$, đồng nghĩa $x_1+j$ là nghiệm của đa thức $P(x+2015-j)$. Vậy đa thức $Q$ có các nghiệm 

\[x_1,\ x_1+1,\ \dots, x_1+2015.\]

Vì $|x_1|<45$ nên có ít nhất $1970$ nghiệm $x_1+j$ thỏa mãn $|x_1+j|<2015$.