Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $A$ là trung điểm $PQ$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết
Cho tam giác $ABC$. Đường tròn $(K)$ qua $B, C$ cắt các đoạn $AC, AB$ tại $E, F$.
Gọi $M, N$ lần lượt là điểm đối xứng của $B, C$ qua $E, F$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(AMN)$ cắt
$MN, BC$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm $PQ$.


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Lấy $X,Y$ lần lượt đối xứng với $C,B$ qua $A$.

$XN$ cắt $YM$ tại $T$.

Ta có $\Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)\Rightarrow \Delta ACN\sim\Delta ABM(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle CAN=\angle BAM\Rightarrow \angle NAX=\angle MAY$.

Đồng thời theo tính chất đường trung bình, $XN\parallel AF; YM\parallel AE$ nên $XAYT$ là hình bình hành

$\Rightarrow \angle AXN=\angle AYM\Rightarrow \Delta AXN\sim\Delta AYM(g.g)$

$\Rightarrow \frac{XN}{YM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$.

Đồng thời, ta có $\frac{TX}{TY}=\frac{AY}{AX} = \frac{AB}{AC}$.

Dẫn đến $\frac{XN}{YM} : \frac{TX}{TY}= \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AN}{AM}\right)^2 = \frac{PN}{PM}$

$\Rightarrow X,Y,P$ thẳng hàng (theo định lý Menelaus đảo) 

$\Rightarrow AP = AQ$.

 

 

 

Hình gửi kèm

  • hình vẽ.png


#3
Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

Lấy $X,Y$ lần lượt đối xứng với $C,B$ qua $A$.

$XN$ cắt $YM$ tại $T$.

Ta có $\Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)\Rightarrow \Delta ACN\sim\Delta ABM(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle CAN=\angle BAM\Rightarrow \angle NAX=\angle MAY$.

Đồng thời theo tính chất đường trung bình, $XN\parallel AF; YM\parallel AE$ nên $XAYT$ là hình bình hành

$\Rightarrow \angle AXN=\angle AYM\Rightarrow \Delta AXN\sim\Delta AYM(g.g)$

$\Rightarrow \frac{XN}{YM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$.

Đồng thời, ta có $\frac{TX}{TY}=\frac{AY}{AX} = \frac{AB}{AC}$.

Dẫn đến $\frac{XN}{YM} : \frac{TX}{TY}= \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AN}{AM}\right)^2 = \frac{PN}{PM}$

$\Rightarrow X,Y,P$ thẳng hàng (theo định lý Menelaus đảo) 

$\Rightarrow AP = AQ$.

Bạn cho mình hỏi bài này nói riêng và các bài hình khác nói chung làm sao để nghĩ ra các đường phụ như vậy nhỉ mặc dù đã làm nhiều bài






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh