Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $A$ là trung điểm $PQ$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Math04

Math04

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Đã gửi 18-09-2022 - 00:25

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn $(K)$ qua $B, C$ cắt các đoạn $AC, AB$ tại $E, F$.
Gọi $M, N$ lần lượt là điểm đối xứng của $B, C$ qua $E, F$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(AMN)$ cắt
$MN, BC$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm $PQ$.


#2 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 18-09-2022 - 08:37

Lấy $X,Y$ lần lượt đối xứng với $C,B$ qua $A$.

$XN$ cắt $YM$ tại $T$.

Ta có $\Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)\Rightarrow \Delta ACN\sim\Delta ABM(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle CAN=\angle BAM\Rightarrow \angle NAX=\angle MAY$.

Đồng thời theo tính chất đường trung bình, $XN\parallel AF; YM\parallel AE$ nên $XAYT$ là hình bình hành

$\Rightarrow \angle AXN=\angle AYM\Rightarrow \Delta AXN\sim\Delta AYM(g.g)$

$\Rightarrow \frac{XN}{YM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$.

Đồng thời, ta có $\frac{TX}{TY}=\frac{AY}{AX} = \frac{AB}{AC}$.

Dẫn đến $\frac{XN}{YM} : \frac{TX}{TY}= \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AN}{AM}\right)^2 = \frac{PN}{PM}$

$\Rightarrow X,Y,P$ thẳng hàng (theo định lý Menelaus đảo) 

$\Rightarrow AP = AQ$.

 

 

 

Hình gửi kèm

  • hình vẽ.png


#3 Math04

Math04

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Đã gửi 18-09-2022 - 22:20

Lấy $X,Y$ lần lượt đối xứng với $C,B$ qua $A$.

$XN$ cắt $YM$ tại $T$.

Ta có $\Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)\Rightarrow \Delta ACN\sim\Delta ABM(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle CAN=\angle BAM\Rightarrow \angle NAX=\angle MAY$.

Đồng thời theo tính chất đường trung bình, $XN\parallel AF; YM\parallel AE$ nên $XAYT$ là hình bình hành

$\Rightarrow \angle AXN=\angle AYM\Rightarrow \Delta AXN\sim\Delta AYM(g.g)$

$\Rightarrow \frac{XN}{YM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$.

Đồng thời, ta có $\frac{TX}{TY}=\frac{AY}{AX} = \frac{AB}{AC}$.

Dẫn đến $\frac{XN}{YM} : \frac{TX}{TY}= \left(\frac{AC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AN}{AM}\right)^2 = \frac{PN}{PM}$

$\Rightarrow X,Y,P$ thẳng hàng (theo định lý Menelaus đảo) 

$\Rightarrow AP = AQ$.

Bạn cho mình hỏi bài này nói riêng và các bài hình khác nói chung làm sao để nghĩ ra các đường phụ như vậy nhỉ mặc dù đã làm nhiều bài






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh