Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{P(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{P(x^2+2)}{x^2+2}, \forall x \in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Math04

Math04

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Đã gửi 18-09-2022 - 00:51

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa:

$\frac{P(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{P(x^2+2)}{x^2+2}, \forall x \in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 18-09-2022 - 00:51


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1613 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:l'Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic integration, motivic stable homotopy theory, the theory of motives

Đã gửi 19-09-2022 - 22:15

Nhân chéo ta có $(x^2+2)P(x^2+1)=(x^2+1)P(x^2+2)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Xem $P(x)$ như một đa thức hệ số trên $\mathbb{C}$ ta thấy đẳng thức trên cũng đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$. Cho $x^2+1=0$ ta thấy $P(0)=0$ hay $x \mid P(x)$. Nói cách khác tồn tại $Q(x) \in \mathbb{R}[x]$ mà $P(x)=xQ(x)$. Từ đây ta thấy $Q(x^2+1)=Q(x^2+2)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$. Nếu $Q = 0$ thì $P=0$. Nếu $Q \neq 0$ thì $Q$ có ít nhất một nghiệm phức $a$, khi đó dễ thấy (do phương trình $x^2+1=a$ luôn có nghiệm) $a+1$ cũng là nghiệm. Lặp lại quá trình này ta thấy $Q$ có vô số nghiệm, vô lý. Vậy chỉ có $P=0$ thoả mãn.


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 Math04

Math04

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Đã gửi 20-09-2022 - 22:59

Nhân chéo ta có $(x^2+2)P(x^2+1)=(x^2+1)P(x^2+2)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Xem $P(x)$ như một đa thức hệ số trên $\mathbb{C}$ ta thấy đẳng thức trên cũng đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$. Cho $x^2+1=0$ ta thấy $P(0)=0$ hay $x \mid P(x)$. Nói cách khác tồn tại $Q(x) \in \mathbb{R}[x]$ mà $P(x)=xQ(x)$. Từ đây ta thấy $Q(x^2+1)=Q(x^2+2)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$. Nếu $Q = 0$ thì $P=0$. Nếu $Q \neq 0$ thì $Q$ có ít nhất một nghiệm phức $a$, khi đó dễ thấy (do phương trình $x^2+1=a$ luôn có nghiệm) $a+1$ cũng là nghiệm. Lặp lại quá trình này ta thấy $Q$ có vô số nghiệm, vô lý. Vậy chỉ có $P=0$ thoả mãn.

Mình thắc mắc chỗ "Xem $P(x)$ như một đa thức hệ số trên $\mathbb{C}$ ta thấy đẳng thức trên cũng đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$, bạn có thể giải thích cụ thể sao đẳng thức trên cũng đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{C}$ giúp mình với



#4 Hoang72

Hoang72

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 436 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 21-09-2022 - 15:50

Có một cách khác như sau:

Đặt $P(x) = x.G(x) + c$ với $G\in\mathbb R[x]; c\in\mathbb R$.

Khi đó $G(x^2+1) + \frac{c}{x^2+1} = G(x^2+2) + \frac{c}{x^2+2}$

$\Rightarrow (x^2+1)(x^2+2)(G(x^2+2) -G(x^2+1))= c$.

Do $VT$ là một đa thức chia hết cho đa thức $(x^2+1)(x^2+2)$ nên $c=0$.

Từ đó $G(x^2+1) = G(x^2+2),\forall x\in\mathbb R$ nên $G(x)\equiv m$, với $m$ là hằng số.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 21-09-2022 - 15:50


#5 Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản trị
  • 2250 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-09-2022 - 20:33

Cách của Hoang72 rất hay! Ở trên bangbang1412 có nhầm chút xíu khi suy ra $Q=0$ thay vì hằng số. 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh